СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 511886

В треугольнике ABC проведена биссектриса CM, касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке P.

А) Докажите, что BC : AC = CP : AP.

Б) Найдите длину CP, если известно, что AM = 5, BM = 4.

Решение.

А) Рассмотрим Δ APC и Δ CPB. У них: ∠P — общий, ∠CAP = ∠BCP (как измеряющиеся половиной градусной меры дуги BC). Следовательно, Δ APC ~ Δ CPB, откуда или BC : AC = CP : AP, что и требовалось доказать.

Б) По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника: По доказанному выше: значит,

 

Но по свойству секущей и касательной, проведенных к окружности из одной и той же точки имеем: Следовательно,

 

 

 

Ответ: Б) 20.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 116.