Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 511886

В треугольнике ABC проведена биссектриса CM, касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке P.

А) Докажите, что BC : AC = CP : AP.

Б) Найдите длину CP, если известно, что AM = 5, BM = 4.

Решение.

А) Рассмотрим Δ APC и Δ CPB. У них: ∠P — общий, ∠CAP = ∠BCP (как измеряющиеся половиной градусной меры дуги BC). Следовательно, Δ APC ~ Δ CPB, откуда  дробь, числитель — AP, знаменатель — AC = дробь, числитель — CP, знаменатель — BC или BC : AC = CP : AP, что и требовалось доказать.

Б) По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника:  дробь, числитель — BC, знаменатель — AC = дробь, числитель — BM, знаменатель — AM = дробь, числитель — 4, знаменатель — 5 . По доказанному выше:  дробь, числитель — BC, знаменатель — AC = дробь, числитель — CP, знаменатель — AP , значит,

 дробь, числитель — CP, знаменатель — AP = дробь, числитель — 4, знаменатель — 5 равносильно CP= дробь, числитель — 4AP, знаменатель — 5 .

 

Но по свойству секущей и касательной, проведенных к окружности из одной и той же точки имеем: C{{P} в степени 2 }=AP умножить на BP. Следовательно,

AP умножить на BP= дробь, числитель — 16A{{P} в степени 2 }, знаменатель — 25 ;BP= дробь, числитель — 16AP, знаменатель — 25 ;16AP=25BP;16(9 плюс BP)=25BP;

 

144 плюс 16BP=25BP;9BP=144;BP=16.

 

CP= дробь, числитель — 4AP, знаменатель — 5 = дробь, числитель — 4 умножить на (16 плюс 9), знаменатель — 5 =20.

 

Ответ: Б) 20.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 116.
Методы геометрии: Свойства биссектрис, Свойства касательных, секущих, Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}
Классификатор планиметрии: Комбинации фигур, Окружность, описанная вокруг треугольника