Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 15 № 511887

Алексей вышел из дома на прогулку со скоростью v км/ч. После того, как он прошел 6 км, из дома следом за ним выбежала собака Жучка, скорость которой была на 9 км/ч больше скорости Алексея. Когда Жучка догнала хозяина, они повернули назад и вместе возвратились домой со скоростью 4 км/ч. Найдите значение v, при котором время прогулки Алексея окажется наименьшим. Сколько при этом составит время его прогулки?

Спрятать решение

Решение.

Скорость сближения Алексея и Жучки (разность скоростей) Δv = 9 км/ч. Первоначальная разность расстояний между хозяином и собакой составляет ΔS = 6 км. Найдем разностное отношение t=\Delta S/\Delta v =2/3 часа. Это и есть время, которое потребовалось Жучке, чтобы догнать Алексея.

С того времени, как Жучка бежала за хозяином, Алексей прошел расстояние, равное  дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби v км. В соответствии с условием задачи Алексей прошел еще 6 км пока Жучка была дома. Значит, в направлении от дома Алексей, будучи на прогулке, прошел 6 плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби v км. Такой же путь Алексей прошел после того, как Жучка догнала его, но в обратном направлении. На преодоление этого пути (со скоростью 4 км/ч) потребовалось  дробь: числитель: 6 плюс \dfrac2, знаменатель: 3 конец дроби v 4 = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: v , знаменатель: 6 конец дроби часа. Итак, вся прогулка Алексея продлилась

 левая круглая скобка дробь: числитель: 6, знаменатель: v конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка плюс левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: v , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка = левая круглая скобка дробь: числитель: 6, знаменатель: v конец дроби плюс дробь: числитель: v , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 13, знаменатель: 6 конец дроби часа.

Эта сумма будет наименьшей, когда сумма двух взаимно обратных положительных выражений  дробь: числитель: 6, знаменатель: v конец дроби и  дробь: числитель: v , знаменатель: 6 конец дроби примет наименьшее значение. И эта наименьшая сумма заведомо известна, она равна 2 (классическое неравенство  левая круглая скобка a плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби правая круглая скобка больше или равно 2  — наименьшее значение достигается при a = 1). Следовательно, в нашем случае должно выполняться равенство  дробь: числитель: 6, знаменатель: v конец дроби = дробь: числитель: v , знаменатель: 6 конец дроби =1, то есть  v = 6 км/ч. Время всей прогулки Алексея составляет 2 плюс дробь: числитель: 13, знаменатель: 6 конец дроби = дробь: числитель: 25, знаменатель: 6 конец дроби часа.

 

Ответ: 6 км/ч,  дробь: числитель: 25, знаменатель: 6 конец дроби часа.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Верно построена математическая модель1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 116.
Классификатор алгебры: Задачи на оптимальный выбор