СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 17 № 511887

Алексей вышел из дома на прогулку со скоростью v км/ч. После того, как он прошел 6 км, из дома следом за ним выбежала собака Жучка, скорость которой была на 9 км/ч больше скорости Алексея. Когда Жучка догнала хозяина, они повернули назад и вместе возвратились домой со скоростью 4 км/ч. Найдите значение v, при котором время прогулки Алексея окажется наименьшим. Сколько при этом составит время его прогулки?

Решение.

Скорость сближения Алексея и Жучки (разность скоростей) Δv = 9 км/ч. Первоначальная разность расстояний между хозяином и собакой составляет ΔS = 6 км. Найдем разностное отношение часа. Это и есть время, которое потребовалось Жучке, чтобы догнать Алексея.

С того времени, как Жучка бежала за хозяином, Алексей прошел расстояние, равное км. В соответствии с условием задачи Алексей прошел еще 6 км пока Жучка была дома. Значит, в направлении от дома Алексей, будучи на прогулке, прошел км. Такой же путь Алексей прошел после того, как Жучка догнала его, но в обратном направлении. На преодоление этого пути (со скоростью 4 км/ч) потребовалось часа. Итак, вся прогулка Алексея продлилась

часа.

Эта сумма будет наименьшей, когда сумма двух взаимно обратных положительных выражений и примет наименьшее значение. И эта наименьшая сумма заведомо известна, она равна 2 (классическое неравенство  — наименьшее значение достигается при a = 1). Следовательно, в нашем случае должно выполняться равенство то есть v = 6 км/ч. Время всей прогулки Алексея составляет часа.

 

Ответ: 6 км/ч, часа.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 116.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Задачи на оптимальный выбор