Алексей вышел из дома на прогулку со скоростью v км/ч. После того, как он прошел 6 км, из дома следом за ним выбежала собака Жучка, скорость которой была на 9 км/ч больше скорости Алексея. Когда Жучка догнала хозяина, они повернули назад и вместе возвратились домой со скоростью 4 км/ч. Найдите значение v, при котором время прогулки Алексея окажется наименьшим. Сколько при этом составит время его прогулки?
Скорость сближения Алексея и Жучки (разность скоростей) Δv = 9 км/ч. Первоначальная разность расстояний между хозяином и собакой составляет ΔS = 6 км. Найдем разностное отношение 
часа. Это и есть время, которое потребовалось Жучке, чтобы догнать Алексея.
С того времени, как Жучка бежала за хозяином, Алексей прошел расстояние, равное 
км. В соответствии с условием задачи Алексей прошел еще 6 км пока Жучка была дома. Значит, в направлении от дома Алексей, будучи на прогулке, прошел 
км. Такой же путь Алексей прошел после того, как Жучка догнала его, но в обратном направлении. На преодоление этого пути (со скоростью 4 км/ч) потребовалось 
часа. Итак, вся прогулка Алексея продлилась
часа.
Эта сумма будет наименьшей, когда сумма двух взаимно обратных положительных выражений 
и 
примет наименьшее значение. И эта наименьшая сумма заведомо известна, она равна 2 (классическое неравенство 
— наименьшее значение достигается при a = 1). Следовательно, в нашем случае должно выполняться равенство 
то есть 
= 6 км/ч. Время всей прогулки Алексея составляет 
часа.
Ответ: 6 км/ч, 
часа.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Верно построена математическая модель | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |