≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 511918

В прямоугольном треугольнике АВС проведены медианы АМ и ВК. Известно, что около четырехугольника АВМК можно описать окружность.

А) Докажите, что СК = СМ.

Б) Пусть АВ = 2. Найдите радиус окружности, описанной около четырехугольника.

Решение.

Решение 1. Проведем окружность, о которой говорится в условии задачи. В соотвтетствии со свойством секущей и хорды имеем: Так как по условию то откуда что и требовалось доказать.

Б) В где ;

В

Теперь нетрудно найти и радиус окружноси, описанной около треугольника АМВ, который совпадет с радиусом окружности, описанной около четырехугольника АВМК.

 

Ответ: Б)

 

Решение 2.

а) Заметим, что то есть ABMK — вписанная трапеция. Значит, она равнобедренная, то есть Тогда и

б) Из пункта а) следует, что тогда

Тогда и

Интересующая нас окружность описана около треугольника KBM. По усиленной теореме синусов ее радиус равен

 

Ответ:

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 119.