Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 512404

Будем называть четырёхзначное число очень счастливым, если все цифры в его десятичной записи различны, а сумма первых двух из этих цифр равна сумме последних двух из них. Например, очень счастливым является число 3140.

а) Существуют ли двадцать последовательных четырёхзначных чисел, среди которых есть три очень счастливых?

б) Может ли разность двух очень счастливых четырёхзначных чисел равняться 2016?

в) Найдите наименьшее простое число, для которого не существует кратного ему очень счастливого четырёхзначного числа.

Спрятать решение

Решение.

а) Примером таких чисел являются 5014, 5015, …, 5033. Очень счастливыми среди них являются числа 5014, 5023 и 5032.

б) Предположим, что это возможно. Пусть \overlineabcd — десятичная запись меньшего из этих двух очень счастливых чисел, а \overlineklmn — десятичная запись большего из них. Из условия следует, что либо 10с + d + 16 = 10m + n, либо 10c + d + 16 = 100 + 10m + n. Отсюда получаем, что либо (m + n) − (c + d) = 9(c – m + 1) + 7, либо (m + n) − (c + d) = 9(c − m − 10) + 6. Значит, число (m + n) − (c + d) даёт при делении на 9 или остаток 7, или остаток 6.

Также из условия следует, что либо 1000a + 100b + 2000 = 1000k + 100l, либо 1000a + 100b + 2100 = 1000k + 100l.

Отсюда получаем, что либо (k + l) − (a + b) = 9(a − k + 2) + 2 , либо (k + l) − (a + b) = 9(a − k + 2) + 3. Значит, число (k + l) − (a + b) даёт при делении на 9 или остаток 2, или остаток 3. Приходим к противоречию, так как по условию (k + l) − (a + b) = (m + n) − (c + d).

в) Покажем, что искомое число равно 11. Для этого сначала приведём примеры очень счастливых четырёхзначных чисел кратных 2, 3, 5 и 7: число 2680 кратно 2 и 5; число 1890 кратно 3 и 7.

Пусть \overlineabcd — десятичная запись какого-либо очень счастливого числа, кратного 11. Тогда

\overlineabcd=1000a плюс 100b плюс 10c плюс d=11 левая круглая скобка 91a плюс 9b плюс c правая круглая скобка плюс левая круглая скобка b минус a плюс d минус c правая круглая скобка .

Получаем, что число b − a + d − c кратно 11. Поскольку a , b, c и d — цифры, отсюда следует, что либо b − a + d − c = 0, либо b − a + d − c = 11, либо b − a + d − c = −11.

В первом случае имеем a + b = c + d и a + c = b + d. Вычитая эти равенства, получаем b − c = c − b, т. е. b = c, — противоречие. Во втором случае имеем a + b = c + d и a + c + 11 = b + d. Вычитая эти равенства, получаем b − c − 11 = c − b, т. е. 2(b − c) = 11, — тоже противоречие, так как 11 не кратно 2. Аналогичное противоречие получается и в третьем случае. Значит, не существует очень счастливых четырёхзначных чисел, кратных 11.

 

Ответ: а) Да, например, 5014, 5015, …, 5033; б) нет; в) 11.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов2
Верно получен один из следующих результатов:

– пример в п. а,

– обоснованное решение в п. б,

– искомая оценка в п. в,

– пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 512404: 516406 516386 530830 Все

Классификатор алгебры: Числа и их свойства