Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 512426

Дан треугольник ABC. В нем проведены биссектрисы AM и BN, каждая из которых равна  дробь, числитель — 2772 корень из { 6}, знаменатель — 71 .

а) Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если его основание равно 132.

Решение.

Предложенная задача известна как теорема Штейнера–Лемуса «Если в треугольнике равны две биссектрисы, то этот треугольник равнобедренный». Исходя из этого имеем:

а) Лемма 1. Если две хорды окружности стягивают различные острые углы с вершинами на этой окружности, то меньшему углу соответствует меньшая хорда.

Доказательство. Две равные хорды стягивают равные углы с вершиной в центре окружности и равные углы (как их половины) с вершинами в соответствующих точках на окружности. Из двух неравных хорд более короткая, находясь дальше отцентра, стягивает меньший угол с вершиной в центре и, следовательно, меньший острый угол с вершиной на окружности.

Лемма 2. В треугольнике с двумя различными углами меньший угол обладает большей биссектрисой.

Доказательство. Пусть ABC — треугольник, в котором \angle B меньше \angle C. Пусть отрезки BM и CNделят пополам углы В и С соответственно. Наша задача — доказать, что BM > CN.

Возьмем точку M' на отрезке BM так, чтобы \angle {M}'CN= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 \angle B. Так как этот угол равен углу {M}'BN, то четыре точки N,B,C,{M}' лежат на одной окружности.

Поскольку

\angle B меньше дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 левая круглая скобка \angle B правая круглая скобка плюс \angle C) меньше дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 (\angle A плюс \angle B плюс \angle C),

то \angle CBN меньше \angle {M}'CB меньше {{90} в степени \circ }.

По лемме 1 N меньше {M}'B. Следовательно, BM больше B{M}' больше CN.

Теперь докажем теорему Штейнера–Лемуса.

Предположим, что в треугольнике \angle B не равно \angle C, т.е. признак равнобедренного треугольника не выполняется. Тогда по лемме 2 BM не равно CN, что противоречит условию теоремы. Значит, наше предположение о невыполнении равенства BM=CNневерно.

 

б) Пусть угол при основании треугольника 2\alpha , высота, проведенная к основанию, h тогда: в \Delta ABD по теореме синусов:

 дробь, числитель — l, знаменатель — синус 2\alpha = дробь, числитель — c, знаменатель — синус ({{180 в степени \circ } минус 3\alpha )}; дробь, числитель — l, знаменатель — синус 2\alpha = дробь, числитель — c, знаменатель — синус 3\alpha ;

 дробь, числитель — l, знаменатель — 2 синус \alpha умножить на косинус \alpha = дробь, числитель — c, знаменатель — синус \alpha умножить на (3 минус 4{{ синус в степени 2 }\alpha )}; дробь, числитель — l, знаменатель — 2 косинус \alpha = дробь, числитель — c, знаменатель — 3 минус 4(1 минус {{ косинус в степени 2 }\alpha )};

 дробь, числитель — l, знаменатель — 2 косинус \alpha = дробь, числитель — c, знаменатель — 4{{ косинус в степени 2 }\alpha минус 1}; дробь, числитель — 2772 корень из { 6}, знаменатель — 71 умножить на 2 косинус \alpha = дробь, числитель — 132, знаменатель — 4{{ косинус в степени 2 }\alpha минус 1};

 дробь, числитель — 21 корень из { 6}, знаменатель — 71 умножить на 2 косинус \alpha = дробь, числитель — 1, знаменатель — 4{{ косинус в степени 2 }\alpha минус 1};84 корень из { 6}{{ косинус } в степени 2 }\alpha минус 21 корень из { 6} минус 142 косинус \alpha =0;

 

 косинус \alpha = дробь, числитель — 71\pm корень из { 5041 плюс 10584}, знаменатель — 84 корень из { 6 }= дробь, числитель — 71\pm корень из { 15625}, знаменатель — 84 корень из { 6 }= дробь, числитель — 71\pm 125, знаменатель — 84 корень из { 6 }.

 

 

Поскольку \alpha меньше {{90} в степени \circ }, отрицательное значение  косинус \alpha нас не интересует. Итак,  косинус \alpha = дробь, числитель — 196, знаменатель — 84 корень из { 6 }= дробь, числитель — 7, знаменатель — 3 корень из { 6 }.

S(ABC)= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 ch= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 c умножить на дробь, числитель — c, знаменатель — 2 \operatorname{tg}2\alpha ={{ левая круглая скобка дробь, числитель — c, знаменатель — 2 правая круглая скобка } в степени 2 } умножить на дробь, числитель — 2\operatorname{tg}\alpha , знаменатель — 1 минус {{\operatorname{tg } в степени 2 }\alpha };\operatorname{tg}\alpha = корень из { дробь, числитель — 1, знаменатель — {{ косинус в степени 2 }\alpha } минус 1}= корень из { дробь, числитель — 54, знаменатель — 49 минус 1}= дробь, числитель — корень из { 5}, знаменатель — 7 .

 

S(ABC)= дробь, числитель — 66 умножить на 66 умножить на 2 умножить на дробь, числитель — корень из { 5, знаменатель — , знаменатель — 7 }{1 минус дробь, числитель — 5, знаменатель — 49 }= дробь, числитель — 66 умножить на 66 умножить на 2 корень из { 5}, знаменатель — 7 умножить на дробь, числитель — 49, знаменатель — 44 =66 умножить на 3 умножить на 7 корень из { 5}=1386 корень из { 5}.

 

Ответ: б) 1386 корень из { 5}.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 132.
Методы геометрии: Свойства биссектрис, Свойства хорд, Теорема синусов, Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}
Классификатор планиметрии: Треугольники