СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 512429

а) Известно, что b = 20132013 + 2. Будут ли числа b3 + 2 и b2 + 2 взаимно простыми?

б) Найдите четырёхзначное число, которое при делении на  131 даёт в остатке 112, а при делении на 132 даёт в остатке 98.

в)  Найдите все числа вида которые делились бы на 132.

Решение.

а) Будем пользоваться таким фактом: НОД(a,b)=НОД(a-b,b) для любых различных натуральных а и b. Это ясно, так как с одной стороны число a-b делится на все общие делители чисел а и b, а с другой стороны, если бы числа а-b и b имели бы больший общий делитель, чем НОД(a,b), то и число а имело бы такой же делитель.

Используя вышеупомянутый факт, и заметив, что b нечетно, получаем: Последнее равенство верно, так как числа и при нечетном b взаимно просты. Далее рассмотрим тождество Значит, если и имеют общий делитель, больший единицы, то это может быть только тройка. Однако, делится на 3 (2013 делится на 3), значит, не кратно 3. Таким образом,

б) Искомое число можно записать как и как , где x,y - некоторые натуральные числа. Значит, , отсюда Возьмем Тогда число удовлетворяет условию. Искать все такие числа в задаче не требовалось.

в) Заметим, что , значит, искомое число должно делиться на 3, 4 и 11. Если наше число делится на 4, то z=2 или z=6. Разберем эти случаи.

1) z=2. Тогда из признака делимости на 3 получаем, что x+y+11 делится на 3, а из признака делимости на 11 получаем, что x-y+7 делится на 11. То есть, x+y может равняться 1,4,7,10,13,16, а x-y может равняться -7 или 4. Подходят только такие варианты: x=4,y=0; x=7,y=3.

2) z=6. Тогда из признака делимости на 3 получаем, что x+y+15 делится на 3, а из признака делимости на 11 получаем, что x-y+3 делится на 11. То есть, x+y может равняться 3,6,9,12,15,18, а x-y может равняться -3 или 8.

Здесь годятся только такие варианты: x=3,y=6; x=6,y=9.

 

Ответ: а) да; б) 1946; в) 3696, 4092, 6996, 7392.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 132.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства