Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 512440

Даны треугольники ABC и A1B1C1. Прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке. Прямые AB и A1B1 пересекаются в точке C2. Прямые АС и AC1 пересекаются в точке B2. Прямые BC и B1C1 пересекаются в точке A2.

а) Докажите, что точки A2, B2, C2 лежат на одной прямой.

б) Найдите отношение площади треугольника A1B1C1 и площади треугольника ABC, если высоты треугольника ABC равны 2, дробь, числитель — 10, знаменатель — 11 , дробь, числитель — 5, знаменатель — 7 , а высоты треугольника A1B1C1 равны 2, дробь, числитель — 5, знаменатель — 3 , дробь, числитель — 10, знаменатель — 9 .

Решение.

а) Пусть O — точка пересечения A{{A}_{1}},B{{B}_{1}},C{{C}_{1}}.

В \Delta AOB по теореме Менелая:

 дробь, числитель — A{{A}_{1}}, знаменатель — O{{A _{1}}} умножить на дробь, числитель — O{{B}_{1}}, знаменатель — B{{B _{1}}} умножить на дробь, числитель — B{{C}_{2}}, знаменатель — A{{C _{2}}}=1(*)

Аналогично: в \Delta BOC:

 дробь, числитель — O{{C}_{1}}, знаменатель — C{{C _{1}}} умножить на дробь, числитель — B{{B}_{1}}, знаменатель — O{{B _{1}}} умножить на дробь, числитель — C{{A}_{2}}, знаменатель — B{{A _{2}}}=1(**)

в \Delta AOC:

 дробь, числитель — O{{A}_{1}}, знаменатель — A{{A _{1}}} умножить на дробь, числитель — C{{C}_{1}}, знаменатель — O{{C _{1}}} умножить на дробь, числитель — A{{B}_{2}}, знаменатель — C{{B _{2}}}=1(***).

 

 

Перемножим левые и правые части равенств (*), (**), (***). Будем иметь:

 дробь, числитель — A{{A}_{1}}, знаменатель — O{{A _{1}}} умножить на дробь, числитель — O{{B}_{1}}, знаменатель — B{{B _{1}}} умножить на дробь, числитель — B{{C}_{2}}, знаменатель — A{{C _{2}}} умножить на дробь, числитель — O{{C}_{1}}, знаменатель — C{{C _{1}}} умножить на дробь, числитель — B{{B}_{1}}, знаменатель — O{{B _{1}}} умножить на дробь, числитель — C{{A}_{2}}, знаменатель — B{{A _{2}}} умножить на дробь, числитель — O{{A}_{1}}, знаменатель — A{{A _{1}}} умножить на дробь, числитель — C{{C}_{1}}, знаменатель — O{{C _{1}}} умножить на дробь, числитель — A{{B}_{2}}, знаменатель — C{{B _{2}}}=1.

 

В итоге получаем:  дробь, числитель — B{{C}_{2}}, знаменатель — A{{C _{2}}} умножить на дробь, числитель — A{{B}_{2}}, знаменатель — C{{B _{2}}} умножить на дробь, числитель — C{{A}_{2}}, знаменатель — B{{A _{2}}}=1, что удовлетворяет условию теоремы Менелая относительно принадлежности точек: {{A}_{2}},{{B}_{2}},{{C}_{2}} одной прямой.

 

б) Пусть a,b,c — стороны \Delta ABC. При этом {{h}_{a}}=2,{{h}_{b}}= дробь, числитель — 10, знаменатель — 11 ,{{h}_{c}}= дробь, числитель — 5, знаменатель — 7 — соответствующие его высоты. Тогда: 2S(ABC)=2a= дробь, числитель — 10, знаменатель — 11 b= дробь, числитель — 5, знаменатель — 7 c(1)

Итак,

 система выражений  новая строка 2a= дробь, числитель — 10, знаменатель — 11 b , новая строка 2a= дробь, числитель — 5, знаменатель — 7 c конец системы . равносильно  система выражений  новая строка b= дробь, числитель — 11, знаменатель — 5 a , новая строка c= дробь, числитель — 14, знаменатель — 5 a . конец системы .

Получили стороны треугольника ABC выражаются через а: a; дробь, числитель — 11, знаменатель — 5 a; дробь, числитель — 14, знаменатель — 5 a.

p(ABC)= левая круглая скобка a плюс дробь, числитель — 11, знаменатель — 5 a плюс дробь, числитель — 14, знаменатель — 5 a правая круглая скобка :2=3a.

 

S(ABC)= корень из { 3a левая круглая скобка 3a минус a правая круглая скобка левая круглая скобка 3a минус дробь, числитель — 11, знаменатель — 5 a правая круглая скобка левая круглая скобка 3a минус дробь, числитель — 14, знаменатель — 5 a правая круглая скобка }= корень из { 3a умножить на 2a умножить на дробь, числитель — 4, знаменатель — 5 a умножить на дробь, числитель — a, знаменатель — 5 }= дробь, числитель — 2{{a} в степени 2 } корень из { 6}, знаменатель — 5 (2)

Пусть {{a}_{1}},{{b}_{1}},{{c}_{1}} — стороны \Delta {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}. При этом {{h}_{{{a}_{1}}}}=2,{{h}_{{{b}_{2}}}}= дробь, числитель — 5, знаменатель — 3 ,{{h}_{{{c}_{1}}}}= дробь, числитель — 10, знаменатель — 9 — соответствующие его высоты. Тогда: 2S(ABC)=2{{a}_{1}}= дробь, числитель — 5, знаменатель — 3 {{b}_{1}}= дробь, числитель — 10, знаменатель — 9 {{c}_{1}}(3)

 система выражений  новая строка 2{{a}_{1}}= дробь, числитель — 5, знаменатель — 3 {{b}_{1}} , новая строка 2a= дробь, числитель — 10, знаменатель — 9 {{c}_{1}} конец системы . равносильно система выражений  новая строка {{b}_{1}}= дробь, числитель — 6, знаменатель — 5 {{a}_{1}} , новая строка c= дробь, числитель — 9, знаменатель — 5 {{a}_{1}} . конец системы .

Стороны \Delta АВС : {{a}_{1}}; дробь, числитель — 6, знаменатель — 5 {{a}_{1}}; дробь, числитель — 9, знаменатель — 5 {{a}_{1}}.

p({{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}})= левая круглая скобка {{a}_{1}} плюс дробь, числитель — 6, знаменатель — 5 {{a}_{1}} плюс дробь, числитель — 9, знаменатель — 5 {{a}_{1}} правая круглая скобка :2=2{{a}_{1}}.

 

S({{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}})= корень из { 2{{a}_{1}} левая круглая скобка 2{{a}_{1}} минус {{a}_{1}} правая круглая скобка левая круглая скобка 2{{a}_{1}} минус дробь, числитель — 6, знаменатель — 5 {{a}_{1}} правая круглая скобка левая круглая скобка 2{{a}_{1}} минус дробь, числитель — 9, знаменатель — 5 {{a}_{1}} правая круглая скобка }= корень из { 2{{a}_{1}} умножить на {{a}_{1}} умножить на дробь, числитель — 4, знаменатель — 5 {{a}_{1}} умножить на дробь, числитель — {{a}_{1}}, знаменатель — 5 }= дробь, числитель — 2{{a}_{1}} в степени 2 корень из { 2}, знаменатель — 5 (4)

Разделим почленно равенство (4) на равенство (2).

 дробь, числитель — S({{A}_{1}, знаменатель — {B _{1}}{{C}_{1)}}}{S(ABC)}= дробь, числитель — 2a_{1} в степени 2 корень из { 2}, знаменатель — 5 : дробь, числитель — 2{{a} в степени 2 } корень из { 6}, знаменатель — 5 = дробь, числитель — 1, знаменатель — корень из { 3 }{{ левая круглая скобка дробь, числитель — {{a}_{1}}, знаменатель — a правая круглая скобка } в степени 2 }.

То есть  дробь, числитель — S({{A}_{1}, знаменатель — {B _{1}}{{C}_{1)}}}{S(ABC)}= дробь, числитель — 1, знаменатель — корень из { 3 }{{ левая круглая скобка дробь, числитель — {{a}_{1}}, знаменатель — a правая круглая скобка } в степени 2 }(5)

Из равенств (1) и (2) получим: S(ABC)=a, S({{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}})={{a}_{1}}. Следовательно, мы вправе равенство (5) переписать так:

 дробь, числитель — S({{A}_{1}, знаменатель — {B _{1}}{{C}_{1)}}}{S(ABC)}= дробь, числитель — 1, знаменатель — корень из { 3 }{{ левая круглая скобка дробь, числитель — S({{A}_{1}, знаменатель — {B _{1}}{{C}_{1}}}{S(ADC)} правая круглая скобка } в степени 2 }(5*)

Разделив обе части равенства (5*) на  дробь, числитель — S({{A}_{1}, знаменатель — {B _{1}}{{C}_{1)}}}{S(ABC)}, получим:

1= дробь, числитель — S({{A}_{1}, знаменатель — {B _{1}}{{C}_{1)}}}{ корень из { 3} умножить на S(ABC)}

или
 дробь, числитель — S({{A}_{1}, знаменатель — {B _{1}}{{C}_{1}})}{S(ABC)}= корень из { 3}.

 

Ответ: б)  корень из { 3}.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 134.
Методы геометрии: Свойства высот, Теорема Менелая
Классификатор планиметрии: Треугольники