СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 17 № 512441

Баржа грузоподъемностью 134 тонны перевозит контейнеры типов А и В. Количество загруженных на баржу контейнеров типа В не менее чем на 25% превосходит количество загруженных контейнеров типа А. Вес и стоимость одного контейнера типа А составляет 2 тонны и 5 млн. руб., контейнера типа В – 5 тонн и 7 млн. руб.соответственно. Определите наибольшую возможную суммарную стоимость (в млн. руб.) всех контейнеров, перевозимых баржей при данных условиях.

Решение.

Пусть x — количество перевозимых контейнеров типа А, y — количество контейнеров типа В, Тогда вес контейнеров типа А составит т, типа В — 5у т. В соответствии с условием задачи Кроме того, должно выполняться условие:

Пусть S — суммарная стоимость всех контейнеров. Тогда S = 5x + 7y. Нам предстоит исследовать функцию S(x, y) на наибольшее значение при заданных условиях.

Имеем: значит,

Найдем, при каком значении у выполняется равенство

Поскольку x, y, а также стоимости контейнеров — числа натуральные, то Значит,

Если то Натуральных решений нет.

Если то Натуральных решений нет.

Если то Натуральных решений нет.

Если то Натуральное решение:

Вычислим значение x при

Итак, искомое значение 220 млн. руб.

 

Ответ: 220 млн. руб.

 

Приведём арифметическое решение.

Заметим, что контейнер типа А приносит 2,5 млн руб. за тонну, а контейнер типа В — 1,4 млн руб. за тонну, поэтому контейнеров типа А должно быть как можно больше, а контейнеров типа В как можно меньше. По условию, на каждые 4 контейнера типа А должно приходиться не менее 5 контейнеров типа B. Пусть контейнеров типа А будет 4x, а контейнеров типа B — 5x, их общий вес составит 8x + 25x = 33x тонн. Грузоподъёмность баржи 134 тонны, поэтому наибольшее возможное целое значение x = 4.

Если x = 4, то на баржу можно загрузить 16 контейнеров типа А и 20 контейнеров типа B, их стоимость составит 80 + 140 = 220 млн руб. При этом баржа будет недогружена на 2 тонны. Заменим два контейнера типа А одним контейнером типа В. Стоимость 14 контейнеров типа А и 21 контейнера типа В составляет 70 + 147 = 217 млн руб., при этом баржа недогружена на 1 тонну. Можно было бы загрузить баржу полностью, заменив ещё два контейнера типа А одним контейнером типа В, но при этом общая стоимость контейнеров снова бы снизилась на 3 млн руб. Из этого следует, что оптимально не загружать баржу полностью, а загрузить на неё 16 контейнеров типа А и 20 контейнеров типа В общей стоимостью 220 млн руб.

 

Примечание.

Проверять изменение стоимости при дозагрузке не полностью нагруженной баржи — обязательная часть решения. Например, если бы контейнер типа В стоил 11 млн руб., а другие данные задачи не поменялись бы, то стоимость 16 контейнеров типа А и 20 контейнеров типа B составила бы 80 + 220 = 300 млн руб. (недогружено 2 тонны), стоимость 14 контейнеров типа А и 21 контейнера типа В составила бы 70 + 231 = 301 млн руб. (недогружена 1 тонна), а стоимость 12 контейнеров типа А и 22 контейнеров типа В составила бы 302 млн руб. — баржа загружена полностью, прибыль максимальна, дальнейшая замена контейнеров типа А на контейнеры типа В приводит к уменьшению прибыли.

См. так же решение задания 513295.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 134.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Задачи на оптимальный выбор
Спрятать решение · ·
Влад Гришин 04.01.2017 12:32

Возможно взять 17 контейнеров типа А, чтобы загрузить баржу полностью. 17*2=34, 20*5=100, 100+34=134. В итоге сумма всего груза будет 225

Александр Иванов

В Вашем примере не выполняется одно из условий (про 25 %)

Лаврентий Григорян 20.03.2017 20:28

Здравствуйте , всегда интересовало , если на реальном ЕГЭ привести арифметическое решение , возможно ли получить максимальный балл за задание ?

Константин Лавров

Да. Возможно.