РЕШУ ЕГЭ

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Задания Д7 C2 № 512452

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ AB = 3, AA₁ = 4, AD = 5.

а) Докажите, что точки B, C₁, D и A₁ не лежат в одной плоскости.

б) Найдите объем многогранника с вершинами в точках B, C₁, D и A₁.

Решение.

а) Поместим заданный параллелепипед в декартову систему координат с началом в точке D(0; 0; 0), как показано на рисунке 1.

Выпишем координаты некоторых его вершин: B(5; 3; 0), A₁(5; 0; 4), C₁(0; 3; 4). Будем искать уравнение плоскости BA₁C₁ в виде ax + by + cz + d = 0. И пусть при этом d = 120.

$\text{[math]}$

Вычитая почленно из первого уравнения второе, получим: $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ Подставляем полученный результат в третье уравнение: $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ Далее:

$\text{[math]}$

Таким образом, искомое уравнение имеет вид: $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$

Нетрудно заметить, что координаты точки D не удовлетворяют уравнению плоскости, следовательно, эта точка D с точками B, C₁ и A₁ в одной плоскости не лежит.

б) Рассмотрим пирамиду с основанием BA₁C₁ и вершиной D. Высоту ее найдем как расстояние ρ от точки D до плоскости BA₁C₁.

$\text{[math]}$