СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 512452

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA1B1C1D1 AB = 3, AA1 = 4, AD = 5.

а) До­ка­жи­те, что точки B, C1, D и A1 не лежат в одной плос­ко­сти.

б) Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка с вер­ши­на­ми в точ­ках B, C1, D и A1.

Ре­ше­ние.

а) По­ме­стим за­дан­ный па­рал­ле­ле­пи­пед в де­кар­то­ву си­сте­му ко­ор­ди­нат с на­ча­лом в точке D(0; 0; 0), как по­ка­за­но на ри­сун­ке 1.

 

 

Вы­пи­шем ко­ор­ди­на­ты не­ко­то­рых его вер­шин: B(5; 3; 0), A1(5; 0; 4), C1(0; 3; 4). Будем ис­кать урав­не­ние плос­ко­сти BA1C1 в виде ax + by + cz + d = 0. И пусть при этом d = 120.

Вы­чи­тая почлен­но из пер­во­го урав­не­ния вто­рое, по­лу­чим: Под­став­ля­ем по­лу­чен­ный ре­зуль­тат в тре­тье урав­не­ние: Далее:

Таким об­ра­зом, ис­ко­мое урав­не­ние имеет вид: или

Не­труд­но за­ме­тить, что ко­ор­ди­на­ты точки D не удо­вле­тво­ря­ют урав­не­нию плос­ко­сти, сле­до­ва­тель­но, эта точка D с точ­ка­ми B, C1 и A1 в одной плос­ко­сти не лежит.

б) Рас­смот­рим пи­ра­ми­ду с ос­но­ва­ни­ем BA1C1 и вер­ши­ной D. Вы­со­ту ее най­дем как рас­сто­я­ние ρ от точки D до плос­ко­сти BA1C1.

Най­дем сто­ро­ны Δ BA1C1.

Те­перь най­дем вы­со­ту этого тре­уголь­ни­ка, про­ве­ден­но­го к сто­ро­не A1B (ри­су­нок 2).

Таким об­ра­зом,

 

Ответ: б) 20.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 136.
Методы геометрии: Использование векторов, Метод координат
Классификатор стереометрии: Объем тела, Прямоугольный параллелепипед