Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 512483

Решите неравенство 0,5 логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 10x плюс 25 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка минус x в квадрате плюс 7x минус 10 правая круглая скобка \geqslant3.

Спрятать решение

Решение.

Запишем неравенство в виде

 дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в квадрате плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка \geqslant3.

Любое решение неравенства удовлетворяет системе

 система выражений x минус 2 больше 0,5 минус x больше 0,x минус 2 не равно 1,5 минус x не равно 1, конец системы .

откуда

 система выражений 2 меньше x меньше 5,x не равно 3,x не равно 4. конец системы .

Для таких x имеем неравенство

 логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка \geqslant2.

Замена:  логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка =z. Получаем z плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: z конец дроби \geqslant2, откуда z > 0. Обратная замена:

 логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка больше 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка минус 1, знаменатель: левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка минус 1 конец дроби больше 0 равносильно 3 меньше x меньше 4.

 

Ответ: (3; 4).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек,

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2

Аналоги к заданию № 512483: 512485 Все

Методы алгебры: Введение замены
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов