Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 512651

В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и 

CC1. Точки A2 и C2 симметричны середине стороны  AC относительно прямых BC и AB соответственно.  

а) Докажите, что отрезки A1A2 и C1С2 лежат на параллельных прямых.

б) Найдите расстояние между точками A2 и C2, если известно, что AB = 7, BC = 6, CA = 5.  

Решение.

А) Найдем площадь треугольника ABC по формуле Герона.

p(ABC) = 9.S(ABC)= корень из { 9 умножить на 2 умножить на 3 умножить на 4}=6 корень из { 6}.

Тогда:

A{{A}_{1}}=2S(ABC):BC=12 корень из { 6}:6=2 корень из { 6};

 

C{{C}_{1}}=2S(ABC):AB=12 корень из { 6}:7= дробь, числитель — 12 корень из { 6}, знаменатель — 7 .

Пусть D — середина АС. Соединим отрезками точки C2 и A2 с точкой D. Пусть C2D пересекает AC1 в точке E, A2D — отрезок A1C в точке F. Ясно, что C2D ⊥ AC1, C2E = DE, (по определению центральной симметрии). Аналогично: A2D ⊥ A1C, DF = A2F.

AA1 || DF как два перпендикуляра к одной и той же прямой BC.

Рассмотрим ∠ACA1. На его стороне АС отложены равные отрезки D и DA, через их концы проведены параллельные прямые DF и AA1 до пресечения с другой стороной CA1. По теореме Фалеса будем иметь: F = A1F.

Отрезки A1C и A2D, являясь диагоналями четырехугольника DA1A2C, в точке F делятся пополам. Значит, DA1A2C — параллелограмм, откуда A1A2 || DC.

Аналогично получим: CC1 || DE, AE = C1E, AC2C1D — параллелограмм, C1C2 || AD.

Таким образом, оказалось, что A1A2 || CD, C1C2 || AD, прямые AD и CD совпадают с прямой АС. Следовательно, A1A2 и C1C2 лежат на параллельных прямых.

 

Б) Рассмотрим четырехугольник DEBF, у которого ∠BED + ∠BFD = 180°. Тогда

\angle {{A}_{2}}D{{C}_{2}}={{180} в степени \circ } минус \angle B;

 

 косинус \angle {{A}_{2}}D{{C}_{2}}= косинус ({{180} в степени \circ } минус B)= минус косинус B;

 

A{{C} в степени 2 }=A{{B} в степени 2 } плюс B{{C} в степени 2 } минус 2AB умножить на BC умножить на косинус ({{180} в степени \circ } минус B);

 

25=49 плюс 36 плюс 2 умножить на 7 умножить на 6 умножить на косинус B;

 

84 косинус B= минус 60 равносильно косинус B= минус дробь, числитель — 5, знаменатель — 7 ;

 

{{A}_{2}}C_{2} в степени 2 ={{C}_{2}}{{D} в степени 2 } плюс DA_{2} в степени 2 минус 2{{C}_{2}}D умножить на D{{A}_{2}} косинус B=CC_{1} в степени 2 плюс AA_{1} в степени 2 минус 2C{{C}_{1}} умножить на {{A}_{2}} косинус B=

 

= дробь, числитель — {{12} в степени 2 } умножить на 6, знаменатель — 49 плюс 4 умножить на 6 плюс 2 умножить на дробь, числитель — 12 корень из { 6}, знаменатель — 7 умножить на 2 корень из { 6} умножить на дробь, числитель — 5, знаменатель — 7 = дробь, числитель — 144 умножить на 6, знаменатель — 49 плюс 24 плюс дробь, числитель — 24 умножить на 60, знаменатель — 49 = дробь, числитель — 24(36 плюс 49 плюс 60), знаменатель — 49 = дробь, числитель — 4 умножить на 6 умножить на 145, знаменатель — 49 равносильно {{A}_{2}}{{C}_{2}}= дробь, числитель — 2 корень из { 870}, знаменатель — 7 .

 

Ответ:  дробь, числитель — 2 корень из { 870}, знаменатель — 7 .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 139.
Методы геометрии: Метод площадей, Теорема Фалеса, Теорема косинусов
Классификатор планиметрии: Треугольники