Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

В основании пирамиды PABCD лежит равнобедренная трапеция с острым углом 45°. Боковые грани PABи PCD перпендикулярны основанию пирамиды. 

а) Докажите, что плоскости PAB и PCD перпендикулярны. 

б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если известно, что BC = 6, АD = 12, а объем пирамиды равен 27.     

Решите неравенство

В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и 

CC₁. Точки A₂ и C₂ симметричны середине стороны  AC относительно прямых BC и AB соответственно.  

а) Докажите, что отрезки A1A₂ и C₁С₂ лежат на параллельных прямых.

б) Найдите расстояние между точками A₂ и C₂, если известно, что AB = 7, BC = 6, CA = 5.  

Груз вначале погрузили в вагоны вместимостью по 80 тонн, но один вагон остался загружен  не  полностью.  Тогда  весь груз переложили в вагоны вместимостью по 60 тонн. При этом понадобилось на 8 вагонов больше, и все равно  один вагон остался загружен не полностью. Наконец, груз переложили в вагоны вместимостью по 50 тонн. При этом понадобилось еще на 5 вагонов больше, и все вагоны оказались полностью загруженными. Сколько было тонн груза?

График функции пересекает ось ординат в точке А и имеет ровно две общие точки M и N с осью абсцисс. Прямая, касающаяся этого графика в точке M, проходит  через точку А. Найдите а, b и с, если площадь треугольника AMN равна 1.

а) В городе Глупове каждый житель — полицейский, вор или обыватель. Полицейские всегда врут обывателям, воры — полицейским, а обыватели — ворам, а во всех остальных случаях жители города говорят правду. Однажды, когда несколько глуповцев водили хоровод, каждый сказал своему соседу справа: «Я — полицейский». Сколько в этом хороводе было обывателей?   

б) За круглым столом сидят 10 человек, каждый из которых — одного из двух типов: лжец (всегда лжет) или рыцарь (всегда говорит правду). Каждый из них утверждает:

«Мои соседи слева и справа — разного типа». Сколько лжецов сидит за столом? 

в) Хоккейная команда, насчитывающая 28 человек, состоит из рыцарей (всегда говорят правду) и лжецов (всегда лгут). Однажды каждый игрок сделал заявление. Первый сказал:  «Количество рыцарей в команде делитель — 1».  Второй  сказал:  «Количество рыцарей в команде — делитель  2» и так далее до 28‐го, который  сказал:  «Количество 

рыцарей в команде — делитель 28». Определите, сколько в команде рыцарей.