СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 512664

Из точки M, взятой на окружности с центром в точке О, на диаметры AB и СD опущены  перпендикуляры MK и MP соответственно.  

а) Докажите, что существует точка, одинаково удалённая от точек M, О, P, K

б) Найдите площадь треугольника MKP, если известно, что ∠MKP = 30°, ∠AOC = 15°, а радиус окружности равен 4. 

Решение.

а) По условию задачи ∠MPO = ∠MKO = 90°. А это значит, что прямоугольные треугольники MPO и MKO имеют общую гипотенузу MO, что в свою очередь означает: точки M, O, P, K принадлежат окружности с центром в середине отрезка MO и радиусом, равным половине длины отрезка MO. Обозначим ее (окружность) ω.

Из сказанного немедленно следует, что существует точка, равноудаленная от точек M, O, P, K, которая является центром окружности ω.

б) ∠MOP = ∠MKP как два вписанных угла, опирающиеся на дугу CmM. Следовательно, ∠MKP = 30°. Но в ΔMPO, где

В прямоугольном ΔOKM:

В четырехугольнике MOPK, вписанном в окружность ω, по теореме Птолемея имеем: то есть

 

 

Ответ:

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 140.