СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости



Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 513212

В  кубе АВСDA1B1C1D1 точка  N — середина  ребра BC,  точка M лежит на ребре AB так, что MB = 2MA. Плоскость, проходящая через точки M и N параллельно прямой ВD1, пересекает ребро DD1 в точке K

а) Докажите, что DK : D1K = 5 : 2. 

б) Найдите расстояние от точки D1 до прямой MN, если известно, что ребро куба равно 12. 

Решение.

а) Обозначим за F точку пересечения MN и BD. Очевидно, BF — биссектриса угла MBN. Пусть ребро куба равно 6x, тогда тогда Тогда откуда Кроме того,

 

По теореме косинусов в треугольнике BNF получаем

откуда

Рассмотрим теперь треугольник Проведем в нем через точку F прямую, параллельную (очевидно, она лежит в данной плоскости). Пусть она пересечет сторону в точке K. Тогда

б) Вычисления пункта а) остаются в силе, Опустим перпендикуляры на MN из точек D и Очевидно, они упадут в одну точку, по теореме о трех перпендикулярах. Обозначим эту точку за T. Тогда Найдем DT. Очевидно,

 

Значит,

 

Ответ:

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 143.
Спрятать решение · ·
Виктор Батыров 01.05.2019 00:40

При поиске BF можно было воспользоваться формулой нахождения биссектрисы треугольника.