Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 513277

На отрезке BD взята точка C. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием BC является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD.

а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.

б) Известно, что  косинус \angle ABC= дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 . В каком отношении прямая DL делит сторону AB?

Решение.

а) Обозначим \angle LBC=\angle LBA=\alpha, тогда

\angle ACB=\angle ABC=2\alpha, \angle LCD=180 в степени circ минус 2\alpha, \angle LDC=\alpha,

поэтому
\angle DLC=180 в степени circ минус \angle LCD минус \angle LDC=\alpha=\angle LDC

и треугольник LCD — равнобедренный.

 

б) Пусть DL пересекает  AB в точке H. Тогда

\angle HLB=180 в степени circ минус \angle BLC минус \angle CLD=180 в степени circ минус (180 в степени circ минус \angle LBC минус \angle LCB) минус \angle CLD=2\alpha,

поэтому треугольники HLB и LCB подобны по двум углам. Отсюда BH= дробь, числитель — BL в степени 2 , знаменатель — BC .

Поскольку  косинус \angle ABC= дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 , получаем BC : AB = 3 : 2. Пусть тогда AB = 2x, BC = 3x. Поскольку AL : LC = AB : BC, находим AL= дробь, числитель — 4, знаменатель — 5 x, CL= дробь, числитель — 6, знаменатель — 5 x. Следовательно, BL= корень из { AB умножить на BC минус AL умножить на LC}= дробь, числитель — 3, знаменатель — 5 корень из { 14}x.

Значит, BH= дробь, числитель — 9 умножить на 14x в степени 2 , знаменатель — 25 умножить на 3x = дробь, числитель — 42x, знаменатель — 25 , откуда  дробь, числитель — BH, знаменатель — HA = дробь, числитель — 42, знаменатель — 8 = дробь, числитель — 21, знаменатель — 4 .

 

Ответ: 21 : 4 (или 4 : 21).

 

 

Приведём решение Александра Шевкина (Москва).

 

а) Пусть в треугольнике ABC половина угла B равна α (см. рис.). Тогда \angle ACB=\angle ABC = 2\alpha. В равнобедренном треугольнике BLD имеем: \angle D = \angle B = \alpha. По свойству внешнего угла треугольника \angle CLD = 2\alpha минус \alpha = \alpha, поэтому треугольник DCL равнобедренный (CD = LC), что и требовалось доказать.

б) Пусть AB = c. Так как  косинус \angle ABC = дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 , находим, что BC = 1,5c. По свойству биссектрисы угла треугольника, AL : LC = AB : BC = 2 : 3, поэтому AL = 0,4c,LC = 0,6c. Тогда CD = 0,6c,DB = 1,5c плюс 0,6c = 2,1c.

В треугольнике ABC по теореме Менелая  дробь, числитель — BH, знаменатель — HA умножить на дробь, числитель — AL, знаменатель — LC умножить на дробь, числитель — CD, знаменатель — DB =1. Так как CD = LC, получаем, что  дробь, числитель — BH, знаменатель — HA умножить на дробь, числитель — AL, знаменатель — DB =1, тогда  дробь, числитель — BH, знаменатель — HA = дробь, числитель — DB, знаменатель — AL = дробь, числитель — 2,1c, знаменатель — 0,4c = дробь, числитель — 21, знаменатель — 4 .

 

Примечание.

Можно привести ещё одно решение пункта б). Воспользуемся результатами, полученными выше:

 

BC = 1,5c,AL = 0,4c,LC = 0,6c,CD = 0,6c,DB = 2,1c.

 

Проведём AE||DL, и пусть E принадлежит BD. В треугольнике DCL:  CD = LC, в подобном ему треугольнике ECA:  AC = CE. Значит, DE = 0,4c. Тогда по теореме о пропорциональных отрезках:

 

BH : HA = BD : DE = 2,1c : 0,4c = 21:4.

 

 

Приведём решение пункта б) Сергея Фефелова (Москва).

Пусть СМ биссектриса ABC, тогда по свойству биссектрисы AM= дробь, числитель — 2, знаменатель — 5 AB. Поскольку HL — биссектриса ALM, тогда AH= дробь, числитель — 2, знаменатель — 5 AM= дробь, числитель — 4, знаменатель — { 25}AB, а значит, AH:HB=4:21.


Аналоги к заданию № 514717: 513277 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016
Методы геометрии: Теоремы Чевы, Менелая, Ван-Обеля
Классификатор планиметрии: Многоугольники и их свойства