Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 514717

На отрезке BD взята точка C. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием BC является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD.

а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.

б) Известно, что  косинус \angle ABC= дробь, числитель — 1, знаменатель — 6 . В каком отношении прямая DL делит сторону AB?

Решение.

а) Пусть углы при основании ВС равнобедренного треугольника ABC равны 2α, тогда углы при основании BD равнобедренного треугольника LBD равны α. Но угол LCB является внешним углом треугольника LCD, он равен сумме углов CDL и CLD. Поэтому угол CLD также равен α, и, следовательно, треугольник LCD равнобедренный.

б) Пусть ВС = х, а АК — медиана и высота равнобедренного треугольника АВС. Тогда в прямоугольном треугольнике АКВ имеем: BK = дробь, числитель — x, знаменатель — 2 ,  косинус ABK = дробь, числитель — 1, знаменатель — 6 , откуда AB = AC = дробь, числитель — BK, знаменатель — косинус ABK = 3x.

Биссектриса BL делит сторону, к которой она проведена, на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:  дробь, числитель — AL, знаменатель — LC = дробь, числитель — AB, знаменатель — BC = дробь, числитель — 3, знаменатель — 1 , поскольку AC = 3x, получаем: LC = дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 AC = дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 x. В пункте а) было доказано, что треугольник LCD равнобедренный, поэтому CD = LC = дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 x. Применим теорему Менелая к треугольнику ABC:

 дробь, числитель — AH, знаменатель — HB умножить на дробь, числитель — BD, знаменатель — DC умножить на дробь, числитель — CL, знаменатель — LA = дробь, числитель — AH, знаменатель — HB умножить на дробь, числитель — 7x, знаменатель — 3x умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 = дробь, числитель — AH, знаменатель — HB умножить на дробь, числитель — 7, знаменатель — { 9} = 1,

откуда  дробь, числитель — AH, знаменатель — HB = дробь, числитель — 9, знаменатель — 7 .

 

Ответ: 9 : 7 (или 7 : 9).

 

Приведем решение п. б), предложенное Олегом Цимбалистом.

 

Пусть \angle HBL=\angle CBL=\angle CDL= \alpha. Тогда \angle BLH= 2\alpha, как внешний угол треугольника BLD. По теореме синусов для треугольника BHL, имеем

 дробь, числитель — BH, знаменатель — синус 2\alpha = дробь, числитель — HL, знаменатель — синус \alpha равносильно дробь, числитель — BH, знаменатель — HL = дробь, числитель — синус 2\alpha, знаменатель — синус \alpha .

Заметим теперь, что \angle BAC= 180 в степени circ минус 4\alpha, а \angle ALH=\alpha. По теореме синусов для треугольника AHL, имеем

 дробь, числитель — HA, знаменатель — синус \alpha = дробь, числитель — HL, знаменатель — синус 4\alpha равносильно дробь, числитель — HA, знаменатель — HL = дробь, числитель — синус \alpha, знаменатель — синус 4\alpha .

Значит,

 дробь, числитель — BH, знаменатель — HA = дробь, числитель — \phantom{n}\dfrac{BH, знаменатель — HL \phantom{n}}{\dfrac{HA}{HL}}= дробь, числитель — \phantom{n}\dfrac{ синус 2\alpha, знаменатель — синус \alpha \phantom{n}}{\dfrac{ синус \alpha}{ синус 4\alpha}}= дробь, числитель — синус 2\alpha синус 4\alpha, знаменатель — синус в степени 2 \alpha = дробь, числитель — 2 синус в степени 2 2\alpha косинус 2\alpha, знаменатель — \dfrac{1 минус косинус 2\alpha 2}= дробь, числитель — 4 умножить на \dfrac{35, знаменатель — 36 умножить на \dfrac{1}{6}}{1 минус \dfrac{1}{6}}= дробь, числитель — 7, знаменатель — 9 .

 

Приведем ещё одно решение.

а) Обозначим \angle LBC=\angle LBA=\alpha, тогда \angle ACB=\angle ABC=2\alpha, \angle LCD=180 в степени circ минус 2\alpha, \angle LDC=\alpha, поэтому \angle DLC=180 в степени circ минус \angle LCD минус \angle LDC==\alpha=\angle LDC, значит, треугольник LCD — равнобедренный.

б) Пусть H — точка пересечения DL с AB. Тогда

\angle HLB=180 в степени circ минус \angle BLC минус \angle CLD=180 в степени circ минус (180 в степени circ минус \angle LBC минус \angle LCB) минус \angle CLD=2\alpha,

поэтому \triangle HLB\sim \triangle LCB по двум углам. Отсюда  дробь, числитель — BH, знаменатель — BL = дробь, числитель — BL, знаменатель — BC равносильно BH= дробь, числитель — BL в степени 2 , знаменатель — BC .

Поскольку  косинус \angle ABC= дробь, числитель — 1, знаменатель — 6 , то  дробь, числитель — BC, знаменатель — AB = дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 . Пусть BC = x, AB = 3x. По теореме о биссектрисе  дробь, числитель — AL, знаменатель — LC = дробь, числитель — AB, знаменатель — BC , откуда находим AL= дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 умножить на 3x= дробь, числитель — 9, знаменатель — 4 x, CL= дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 x. Тогда

BL=LD= корень из { CL в степени 2 плюс CD в степени 2 минус 2 умножить на CL умножить на CD умножить на косинус (180 в степени circ минус 2\alpha)}= корень из { дробь, числитель — 18x в степени 2 , знаменатель — 16 плюс дробь, числитель — 18x в степени 2 , знаменатель — 16 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 6 }= дробь, числитель — x, знаменатель — 4 корень из { 21},
значит, BH= дробь, числитель — 21x в степени 2 , знаменатель — 16x = дробь, числитель — 21x, знаменатель — 16 , откуда  дробь, числитель — BH, знаменатель — HA = дробь, числитель — \dfrac{21x, знаменатель — 16 }{3x минус \dfrac{21x}{16}}= дробь, числитель — 21, знаменатель — 48 минус 21 = дробь, числитель — 7, знаменатель — 9 .

 

Еще несколько подходов изложены при решении задания 513277.


Аналоги к заданию № 514717: 513277 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016
Методы геометрии: Свойства биссектрис, Теорема Менелая, Теорема Менелая, Теорема косинусов, Теорема синусов
Классификатор планиметрии: Многоугольники и их свойства, Подобие