СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 17 № 513298

В двух областях работают по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,3 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется x2 человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется y2 человеко-часов труда.

Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно добыть в двух областях суммарно для нужд промышленности?

Решение.

Поскольку алюминий и никель взаимозаменяемы, и необходимо произвести наибольшее количество металла, все рабочие первой области должны быть направлены на добычу никеля, который они добывают втрое более эффективно, чем алюминий. За сутки ими будет добыто 160 · 5 · 0,3 = 240 кг никеля.

Пусть во второй области алюминий добывают х рабочих, а никель — 160 − х рабочих. Тогда за сутки они добудут кг алюминия и кг никеля. Найдем наибольшее значение функции

для натуральных х, не больших 160. Имеем:

Найдем нули производной:

 

 

При x меньших 80 производная положительна, а при x больших 80 производная отрицательна, поэтому в точке 80 функция достигает максимума равного наибольшему значению функции на исследуемом промежутке.

Тем самым, 80 рабочих второй области следует направить на добычу алюминия и 80 — на добычу никеля. Они добудут 40 кг металла. Совместно рабочие первой и второй области добудут 280 кг металла.

 

Ответ: 280 кг.

 

Примечание.

Можно было обойтись без производной. Напомним, что наибольшее значение функции на отрезке достигается в точке и равно Доказательство можно получить, например, возведением в квадрат.

 

 

В нашем случае поэтому искомое наибольшее значение достигается в точке, где то есть при

 

Приведём геометрическое решение.

Пусть во второй области на добычу алюминия будет отведено человеко-часов, а на добычу никеля — человеко-часов. Всего рабочих 160, работая по 5 часов, они вырабатывают 800 человеко-часов в сутки, поэтому Для таких значений переменных требуется определить наибольшее значение количества добытого металла Тем самым, необходимо определить наибольшее значение параметра при котором прямая, задаваемая уравнением будет иметь с окружностью общие точки, лежащие в первой координатной четверти.

Из рисунка видно, что точка касания является серединой гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника. Координаты точки касания должны удовлетворять уравнению окружности. Тогда откуда при


Аналоги к заданию № 513298: 513301 515652 515747 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2016 г.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Задачи на оптимальный выбор