Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 15 № 513298

В двух областях работают по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,3 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется x2 человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется y2 человеко-часов труда.

Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую суммарную массу металлов можно добыть в двух областях за сутки?

Спрятать решение

Решение.

Поскольку алюминий и никель взаимозаменяемы, и необходимо произвести наибольшее количество металла, все рабочие первой области должны быть направлены на добычу никеля, который они добывают втрое более эффективно, чем алюминий. За сутки ими будет добыто 160 · 5 · 0,3 = 240 кг никеля.

Пусть во второй области алюминий добывают y рабочих, а никель — 160 − y рабочих. Тогда за сутки они добудут  корень из (5y) кг алюминия и  корень из (5(160 минус y)) кг никеля. Найдем наибольшее значение функции

f(y)= корень из (5y) плюс корень из (800 минус 5y)

для неотрицательных целых y, не больших 160. Имеем:

f'(y)= дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 корень из (5y конец дроби ) минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 корень из (800 минус 5y конец дроби ) = дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби дробь: числитель: корень из (800 минус 5y) минус корень из (5y) , знаменатель: корень из (5y конец дроби умножить на корень из 800 минус 5y) .

Найдем нули производной:

 корень из (800 минус 5y) = корень из (5y) \undersety\geqslant0\mathop равносильно 800 минус 5y=5y равносильно y=80.

При y меньших 80 производная положительна, а при y больших 80 производная отрицательна, поэтому в точке 80 функция достигает максимума f_max=40, равного наибольшему значению функции на исследуемом промежутке.

Тем самым, 80 рабочих второй области следует направить на добычу алюминия и 80 — на добычу никеля. Они добудут 40 кг металла. Совместно рабочие первой и второй области добудут 280 кг металла.

 

Ответ: 280 кг.

 

Примечание.

Можно было обойтись без производной. Напомним, что наибольшее значение функции  y(x) = корень из (x минус a) плюс корень из (b минус x) , на отрезке [a;b] достигается в точке  дробь: числитель: a плюс b, знаменатель: 2 конец дроби и равно  корень из (2(b минус a)) . Доказательство можно получить, например, возведением в квадрат.

 

 

В нашем случае f(x)= корень из (5x) плюс корень из (800 минус 5x) , a=0, b=800, поэтому искомое наибольшее значение f_наиб= корень из (1600) =40, достигается в точке, где 5x=400 то есть при x=80.

 

Приведём геометрическое решение.

Пусть во второй области на добычу алюминия будет отведено x в степени 2 человеко-часов, а на добычу никеля — y в степени 2 человеко-часов. Всего рабочих 160, работая по 5 часов, они вырабатывают 800 человеко-часов в сутки, поэтому x в степени 2 плюс y в степени 2 =800. Для таких значений переменных требуется определить наибольшее значение количества добытого металла s =x плюс y. Тем самым, необходимо определить наибольшее значение параметра s при котором прямая, задаваемая уравнением y=s минус x, будет иметь с окружностью x в степени 2 плюс y в степени 2 =800 общие точки, лежащие в первой координатной четверти.

Из рисунка видно, что точка касания является серединой гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника. Координаты точки касания (0,5s;0,5s) должны удовлетворять уравнению окружности. Тогда 0,25s в степени 2 плюс 0,25s в степени 2 =800, откуда s=40. при x=y=20.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Верно построена математическая модель1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2

Аналоги к заданию № 513298: 513301 515652 515747 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2016 г.
Классификатор алгебры: Задачи на оптимальный выбор