Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 15 № 515747

В двух областях есть по 250 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется x2 человеко-часов труда, а для добычи y кг никеля в день требуется y2 человеко-часов труда.

Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую суммарную массу металлов можно добыть в двух областях за сутки?

Спрятать решение

Решение.

Отметим, что всех рабочих первой области необходимо направить на добычу алюминия — за единицу времени они добывают его в два раза больше, чем никеля, а алюминий с никелем взаимозаменяемы. За сутки они добудут: 0,2 умножить на 5 умножить на 250=250 кг алюминия.

Пусть во второй области y человек заняты на добыче алюминия, за 5 часов они добудут  корень из (5y) кг. Тогда остальные 250  − y человек заняты на добыче никеля, за 5 часов они добудут его  корень из (5(250 минус y)) кг.

Найдем наибольшее на значение функции f(y)= корень из (5y) плюс корень из (1250 минус 5y) для натуральных y, не превосходящих 250. Имеем:

f'(y)= дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 корень из (5y) конец дроби минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 корень из (1250 минус 5y) конец дроби правая круглая скобка =0.

Найденная производная равна нулю, если  корень из (1250 минус 5y) = корень из (5y) , то есть при 1250 минус 5y=5y, откуда y=125. Изобразим поведение функции на рисунке. Заметим, что f возрастает на [0; 125] и убывает на [125; 250]. Следовательно, f_наиб=f_max=f(125)=50 кг.

Тем самым, во второй области 125 рабочих необходимо направить на добычу алюминия, и 125 — на добычу никеля. За смену они добудут 50 кг металлов.

Общая масса металлов составляет 250 + 50 = 300 (кг).

 

Ответ: 300 кг.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Верно построена математическая модель1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2

Аналоги к заданию № 513298: 513301 515652 515747 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 6. (Часть C).
Классификатор алгебры: Задачи на оптимальный выбор