≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 17 № 513302

На каждом из двух заводов работает по 100 человек. На первом заводе один рабочий изготавливает за смену 3 детали А или 1 деталь В. На втором заводе для изготовления t деталей (и А, и В) требуется t2 человеко-смен. Оба завода поставляют детали на комбинат, где собирают изделие, причем для его изготовления нужна 1 деталь А и 3 детали В. При этом заводы договариваются между собой изготавливать детали так, чтобы можно было собрать наибольшее количество изделий. Сколько изделий при таких условиях может собрать комбинат за смену?

Решение.

Начнём решение с анализа фразы: «на втором заводе для изготовления t деталей (и А, и В) требуется человеко-смен». Из этого условия следует, что работающие на заводе 100 человек за смену смогут произвести максимум 10 деталей.

Пусть на первом комбинате х рабочих заняты на производстве детали А, а остальные 100 − х рабочих производят детали типа В, и пусть на втором комбинате из 10 деталей производится y деталей типа А и 10 − y деталей типа В. Внесем данные из условия в таблицу.

 

Деталь AДеталь B
Количество
человек
Количество
деталей
Количество
человек
Количество
деталей
Первый комбинат
Второй комбинат
Всего

 

Для производства изделий деталей типа B должно быть в три раза больше деталей типа A:

Пусть s шт. — количество изделий, оно равно количеству деталей типа А: Будем искать наибольшее возможное значение этого выражения, подставив в него (*):

Наибольшему возможному значению s соответствует наибольшее значение при неотрицательных целых значениях y, не больших 10.

Функция − убывающая. Наибольшее значение на отрезке она принимает при , при этом , а

Таким образом, максимальное количество изделий за смену будет собрано, если на втором заводе будут изготавливать только детали типа В (100 рабочих изготовят 10 деталей типа В), а на первом заводе 11 человек изготовят 33 детали типа А, а остальные 89 рабочих изготовят 89 деталей типа В. Итого получим 33 детали типа А и 99 деталей типа В, на производстве которых были заняты все 200 человек.

Значит, комбинат сможет собрать за смену 33 изделия.

 

Ответ: 33 изделия.

 

 

Замечание.

Вначале мы прочли условие иначе и полагали, что на втором заводе для изготовления t деталей каждого типа (и А, и В независимо друг от друга) требуется t2 человеко-смен. Приведём решение и примечания к нему для такого понимания условия. К этому же пониманию условия относятся комментарии читателей.

 

Пусть на первом комбинате х рабочих, а на втором комбинате y рабочих заняты на производстве детали А. Внесем данные из условия в таблицу.

 

Деталь AДеталь B
Количество
человек
Количество
деталей
Количество
человек
Количество
деталей
Первый комбинат
Второй комбинат
Всего

 

Для производства изделий деталей типа B должно быть в три раза больше деталей типа A:

Пусть s шт — количество изделий, оно равно количеству деталей типа А: Будем искать наибольшее возможное значение этого выражения, подставив в него (*):

Наибольшему возможному значению s соответствует наибольшее значение при натуральных значениях y не больших 100. Имеем:

Найдем нули производной:

В найденной точке производная меняет знак с плюса на минус, поэтому в ней функция достигает максимума, совпадающего с наибольшим значением функции на исследуемой области, равным при этом Количество деталей должно быть натуральным числом, поэтому рабочие могут произвести, самое большее, 33 детали типа А.

Из (*) находим чел. Это означает, что 10 рабочиx первого комбината и 10 рабочих второго комбината должны быть заняты на производстве детали А, за сутки они произведут их 33 шт, оставшиеся 90 рабочих первого комбината и 90 рабочих второго комбината должны быть заняты на производстве деталей В, за сутки они произведут их 99 шт.

 

Ответ: 33 изделия.

 

Примечание 1.

Внимательный читатель мог бы задать вопрос о том, почему в равенстве (*) предполагается, что деталей производится ровно в отношении 1:3. Ведь можно произвести, например, 11 деталей типа B и 34 детали типа А, из них получится собрать 33 изделия, а одна деталь типа А останется лишней. Ответим на этот вопрос.

Если есть лишние детали, то уменьшим их число до соотношения 1:3 и отправим на обед людей, производивших лишние детали. Тогда получим решение задачи для меньшего числа людей, но с тем же выходом продукта и соотношением деталей 1:3. Теперь вернём людей с обеда. Меньшего количества изделий мы не получим, поскольку зависимость между числом деталей и количеством людей неубывающая. Большего количества изделий тоже не достичь, поскольку из лишних деталей целого изделия собрать не получится. Поэтому наибольшее количество изделий совпадет с найденным.

 

Примечание 2.

Заметим, что если рабочие второго комбината будут производить только детали типа В, то они произведут их 10 шт. Пусть при этом 89 рабочих первого комбината произведут 89 деталей типа В, а оставшиеся 11 рабочих первого комбината произведут 33 детали типа А. Тогда всего будет произведено 33 детали типа А и 99 деталей типа В. Из них также можно собрать 33 изделия. Таких вариантов довольно много (см. таблицу в конце).

 

Примечание 3.

Можно было бы спросить, почему не образовать из рабочих второго завода 100 независимых групп, каждая из которых состоит из одного рабочего.

 

Приведём решение Евгения Обухова.

Пусть первый завод выпускает x деталей В, а второй завод выпускает y деталей В. Тогда на первом заводе деталь В выпускает x рабочих, а деталь А выпускает рабочих. Поэтому первый завод выпускает деталей А.

На втором заводе деталь В выпускает рабочих, деталь А выпускает рабочих. Поэтому второй завод выпускает деталей A. Здесь — целая часть числа.

Пусть комбинат выпускает k изделий. Имеем следующие необходимые и достаточные условия:

Рассмотрим Тогда получим:

Домножим второе неравенство на 3 и сложим с первым, получим: Заметим, что (при ) удовлетворяют исходному неравенству. То есть комбинат может изготовить 33 изделия.

Проверим, может ли он изготовить больше. Пусть , тогда:

Поскольку теперь мы можем считать , из второго неравенства находим Тогда оценим: Получили противоречие с первым неравенством.

Следовательно, максимальное число изделий, которое может произвести комбинат, равно 33.

 

 

Приведём таблицу других вариантов, также дающих 33 изделия


Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2016 г.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Задачи на оптимальный выбор
Спрятать решение · ·
Ирина Нишакова 03.11.2016 09:25

Если на втором заводе 64 рабочих изготовят 8 деталей типа В, а оставшиеся 36 рабочих изготовят ещё 6 деталей типа В, то всего будет 14 деталей типа В. А на первом 12 рабочих изготовят по три детали А (всего 36 деталей), остальные 88 по одной детали В. Тогда получится: 36А+88В+14В = 34А+34*3В+2А = 34 изделия + 2 лишние детали А. Если же нельзя устраивать разбиение рабочих на такие группы (как 64+36 для одной и той же детали), то тогда получается, что 100 рабочих, изготавливающих одну деталь, могут изготовить максимум 10 штук, тогда максимум 33 изделия. Мне кажется, условие можно трактовать по-разному.

Служба поддержки

Если бы на втором заводе можно было изготавливать одинаковые детали «группами рабочих», то эффективнее всего было бы создать 100 групп по одному человеку: они произвели бы по одной детали каждый, всего 100 деталей. Но этого нет в условии.

Никита Смилык 05.02.2017 11:55

У вас не рациональное решение, так слишком долго. Нужно начать с того что на 2 заводе должны произвести детали только B, тк первый производит намного больше деталей А, следовательно 2 завод сделает 10 деталей В. А дальше нужно просто приравнять количество деталей В к количеству А, с учетом коэффициента 3.

За n возьмем кол-во человек, работающих над деталью А. Скорости рабочих на первом заводе над деталями А и В соответственно равны 3 и 1.

3*3n=(100-n)*1+10

n=11

Следовательно кол-во деталей А=Nизд=3*11=33

Просто и понятно. Почему вы не приводите подобное решение? Так зачтут на ЕГЭ?

Служба поддержки

Рассуждение неверно в первом же предложении. Второе предложение тоже неверное. Не зачтут.

Дмитрий 08.05.2017 13:59

Но ведь фраза «для из­го­тов­ле­ния t де­та­лей (и А, и В) тре­бу­ет­ся t2 человеко-смен» означает, что для изготовления суммарного количества деталей А и В, равного t шт. нужно t2 человеко-смен. Но не по отдельности. То есть изготовить 6 деталей А и 8 деталей В там невозможно, поскольку «для из­го­тов­ле­ния 14 де­та­лей (и А, и В) тре­бу­ет­ся 196 человеко-смен», но у нас есть только 100.

Есть пример задачи, в которой именно такая ситуация — отдельно считается количество времени на производство одного и на производство другого. Это задача про выплавку алюминия и никеля в двух областях (у вас № 513294). И там по этой причине специально отдельно говорится про металл А и метал В: «для до­бы­чи х кг алю­ми­ния в день тре­бу­ет­ся х2 человеко-часов труда, а для до­бы­чи у кг ни­ке­ля в день тре­бу­ет­ся у2 человеко-часов труда».

Если бы речь шла о производстве А и В по отдельности, то сформулировали бы точно так же. Здесь же «t деталей и А, и В» то есть сначала все детали в кучу, а потом считаем количество. Точно также, как если говорится «на столе стоят 10 чашек (с чаем и кофе)», то этих чашек именно 10, а не 20.

Служба поддержки

Указали в решении на возможность такого прочтения условия. Тем не менее, мы все же склонны считать, что авторами это понимание не задумывалось. Действительно, нет резона характеризовать производство в терминах количества деталей t, производимых за t2 человеко-смен, вместо того, чтобы просто указать, что на втором заводе производят 10 деталей в день.