Пер­вое ре­ше­ние:

Из усло­вия «на вто­ром за­во­де для из­го­тов­ле­ния t де­та­лей (и А, и В) тре­бу­ет­ся че­ло­ве­ко-смен» сле­ду­ет, что ра­бо­та­ю­щие на за­во­де 100 че­ло­век за смену смо­гут про­из­ве­сти мак­си­мум 10 де­та­лей од­но­го типа.

Пусть на пер­вом ком­би­на­те х ра­бо­чих за­ня­ты на про­из­вод­стве де­та­ли А, а осталь­ные 100 − х ра­бо­чих про­из­во­дят де­та­ли типа В, и пусть на вто­ром ком­би­на­те из 10 де­та­лей про­из­во­дит­ся y де­та­лей типа А и 10 − y де­та­лей типа В. Вне­сем дан­ные из усло­вия в таб­ли­цу.

	Де­таль A		Де­таль B
	Ко­ли­че­ство че­ло­век	Ко­ли­че­ство де­та­лей	Ко­ли­че­ство че­ло­век	Ко­ли­че­ство де­та­лей
Пер­вый ком­би­нат	x
Вто­рой ком­би­нат		y
Всего

Для про­из­вод­ства из­де­лий де­та­лей типа B долж­но быть в три раза боль­ше де­та­лей типа A:

Пусть s шт.  — ко­ли­че­ство из­де­лий, оно равно ко­ли­че­ству де­та­лей типа А: Будем ис­кать наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние этого вы­ра­же­ния, под­ста­вив в него (*):

Наи­боль­ше­му воз­мож­но­му зна­че­нию s со­от­вет­ству­ет наи­боль­шее зна­че­ние при не­от­ри­ца­тель­ных целых зна­че­ни­ях y, не боль­ших 10.

Функ­ция   — убы­ва­ю­щая. Наи­боль­шее зна­че­ние на от­рез­ке она при­ни­ма­ет при при этом а

Таким об­ра­зом, мак­си­маль­ное ко­ли­че­ство из­де­лий за смену будет со­бра­но, если на вто­ром за­во­де будут из­го­тав­ли­вать толь­ко де­та­ли типа В (100 ра­бо­чих из­го­то­вят 10 де­та­лей типа В), а на пер­вом за­во­де 11 че­ло­век из­го­то­вят 33 де­та­ли типа А, а осталь­ные 89 ра­бо­чих из­го­то­вят 89 де­та­лей типа В. Итого по­лу­чим 33 де­та­ли типа А и 99 де­та­лей типа В, на про­из­вод­стве ко­то­рых были за­ня­ты все 200 че­ло­век.

Зна­чит, ком­би­нат смо­жет со­брать за смену 33 из­де­лия.

Ответ: 33 из­де­лия.

За­ме­ча­ние.

Вна­ча­ле мы про­чли усло­вие иначе и по­ла­га­ли, что на вто­ром за­во­де для из­го­тов­ле­ния t де­та­лей каж­до­го типа (и А, и В не­за­ви­си­мо друг от друга) тре­бу­ет­ся t² че­ло­ве­ко-смен. При­ведём ре­ше­ние и при­ме­ча­ния к нему для та­ко­го по­ни­ма­ния усло­вия. К этому же по­ни­ма­нию усло­вия от­но­сят­ся ком­мен­та­рии чи­та­те­лей.

Вто­рое ре­ше­ние:

Пусть на пер­вом ком­би­на­те х ра­бо­чих, а на вто­ром ком­би­на­те y ра­бо­чих за­ня­ты на про­из­вод­стве де­та­ли А. Вне­сем дан­ные из усло­вия в таб­ли­цу.

	Де­таль A		Де­таль B
	Ко­ли­че­ство че­ло­век	Ко­ли­че­ство де­та­лей	Ко­ли­че­ство че­ло­век	Ко­ли­че­ство де­та­лей
Пер­вый ком­би­нат	x
Вто­рой ком­би­нат	y
Всего

Для про­из­вод­ства из­де­лий де­та­лей типа B долж­но быть в три раза боль­ше де­та­лей типа A:

Пусть s шт  — ко­ли­че­ство из­де­лий, оно равно ко­ли­че­ству де­та­лей типа А: Будем ис­кать наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние этого вы­ра­же­ния, под­ста­вив в него (*):

Наи­боль­ше­му воз­мож­но­му зна­че­нию s со­от­вет­ству­ет наи­боль­шее зна­че­ние при на­ту­раль­ных зна­че­ни­ях y не боль­ших 100. Имеем:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

В най­ден­ной точке про­из­вод­ная ме­ня­ет знак с плюса на минус, по­это­му в ней функ­ция до­сти­га­ет мак­си­му­ма, сов­па­да­ю­ще­го с наи­боль­шим зна­че­ни­ем функ­ции на ис­сле­ду­е­мой об­ла­сти, рав­ным при этом Ко­ли­че­ство де­та­лей долж­но быть на­ту­раль­ным чис­лом, по­это­му ра­бо­чие могут про­из­ве­сти, самое боль­шее, 33 де­та­ли типа А.

Из (*) на­хо­дим чел. Это озна­ча­ет, что 10 ра­бо­чиx пер­во­го ком­би­на­та и 10 ра­бо­чих вто­ро­го ком­би­на­та долж­ны быть за­ня­ты на про­из­вод­стве де­та­ли А, за сутки они про­из­ве­дут их 33 шт, остав­ши­е­ся 90 ра­бо­чих пер­во­го ком­би­на­та и 90 ра­бо­чих вто­ро­го ком­би­на­та долж­ны быть за­ня­ты на про­из­вод­стве де­та­лей В, за сутки они про­из­ве­дут их 99 шт.

Ответ: 33 из­де­лия.

При­ме­ча­ние 1.

Вни­ма­тель­ный чи­та­тель мог бы за­дать во­прос о том, по­че­му в ра­вен­стве (*) пред­по­ла­га­ет­ся, что де­та­лей про­из­во­дит­ся ровно в от­но­ше­нии 1 : 3. Ведь можно про­из­ве­сти, на­при­мер, 11 де­та­лей типа B и 34 де­та­ли типа А, из них по­лу­чит­ся со­брать 33 из­де­лия, а одна де­таль типа А оста­нет­ся лиш­ней. От­ве­тим на этот во­прос.

Если есть лиш­ние де­та­ли, то умень­шим их число до со­от­но­ше­ния 1 : 3 и от­пра­вим на обед людей, про­из­во­див­ших лиш­ние де­та­ли. Тогда по­лу­чим ре­ше­ние за­да­чи для мень­ше­го числа людей, но с тем же вы­хо­дом про­дук­та и со­от­но­ше­ни­ем де­та­лей 1 : 3. Те­перь вернём людей с обеда. Мень­ше­го ко­ли­че­ства из­де­лий мы не по­лу­чим, по­сколь­ку за­ви­си­мость между чис­лом де­та­лей и ко­ли­че­ством людей не­убы­ва­ю­щая. Боль­ше­го ко­ли­че­ства из­де­лий тоже не до­стичь, по­сколь­ку из лиш­них де­та­лей це­ло­го из­де­лия со­брать не по­лу­чит­ся. По­это­му наи­боль­шее ко­ли­че­ство из­де­лий сов­па­дет с най­ден­ным.

При­ме­ча­ние 2.

За­ме­тим, что если ра­бо­чие вто­ро­го ком­би­на­та будут про­из­во­дить толь­ко де­та­ли типа В, то они про­из­ве­дут их 10 шт. Пусть при этом 89 ра­бо­чих пер­во­го ком­би­на­та про­из­ве­дут 89 де­та­лей типа В, а остав­ши­е­ся 11 ра­бо­чих пер­во­го ком­би­на­та про­из­ве­дут 33 де­та­ли типа А. Тогда всего будет про­из­ве­де­но 33 де­та­ли типа А и 99 де­та­лей типа В. Из них также можно со­брать 33 из­де­лия. Таких ва­ри­ан­тов до­воль­но много (см. таб­ли­цу в конце).

При­ме­ча­ние 3.

Можно было бы спро­сить, по­че­му не об­ра­зо­вать из ра­бо­чих вто­ро­го за­во­да 100 не­за­ви­си­мых групп, каж­дая из ко­то­рых со­сто­ит из од­но­го ра­бо­че­го.

При­ведём ре­ше­ние Ев­ге­ния Обу­хо­ва.

Пусть пер­вый завод вы­пус­ка­ет x де­та­лей В, а вто­рой завод вы­пус­ка­ет y де­та­лей В. Тогда на пер­вом за­во­де де­таль В вы­пус­ка­ет x ра­бо­чих, а де­таль А вы­пус­ка­ет ра­бо­чих. По­это­му пер­вый завод вы­пус­ка­ет де­та­лей А.

На вто­ром за­во­де де­таль В вы­пус­ка­ет ра­бо­чих, де­таль А вы­пус­ка­ет ра­бо­чих. По­это­му вто­рой завод вы­пус­ка­ет де­та­лей A. Здесь   — целая часть числа.

Пусть ком­би­нат вы­пус­ка­ет k из­де­лий. Имеем сле­ду­ю­щие не­об­хо­ди­мые и до­ста­точ­ные усло­вия:

Рас­смот­рим Тогда по­лу­чим:

До­мно­жим вто­рое не­ра­вен­ство на 3 и сло­жим с пер­вым, по­лу­чим: За­ме­тим, что (при ) удо­вле­тво­ря­ют ис­ход­но­му не­ра­вен­ству. То есть ком­би­нат может из­го­то­вить 33 из­де­лия.

Про­ве­рим, может ли он из­го­то­вить боль­ше. Пусть тогда

По­сколь­ку те­перь мы можем счи­тать из вто­ро­го не­ра­вен­ства на­хо­дим Тогда оце­ним: По­лу­чи­ли про­ти­во­ре­чие с пер­вым не­ра­вен­ством.

Сле­до­ва­тель­но, мак­си­маль­ное число из­де­лий, ко­то­рое может про­из­ве­сти ком­би­нат, равно 33.

При­ведём таб­ли­цу дру­гих ва­ри­ан­тов, также да­ю­щих 33 из­де­лия.

На каж­дом ком­би­на­те в день может быть за­тра­че­но 1000 че­ло­ве­ко-смен труда. Пусть на пер­вом ком­би­на­те на из­го­тов­ле­ние де­та­ли A еже­днев­но будет за­тра­че­но х че­ло­ве­ко-смен, а на вто­ром ком­би­на­те − y² че­ло­ве­ко-смен. Со­ста­вим таб­ли­цу по дан­ным за­да­чи.

	Де­таль A		Де­таль B
	Ко­ли­че­ство че­ло­ве­ко-смен	Ко­ли­че­ство де­та­лей за смену, шт	Ко­ли­че­ство че­ло­ве­ко-смен	Ко­ли­че­ство де­та­лей за смену, шт
Пер­вый ком­би­нат	x	3x
Вто­рой ком­би­нат		10y
Всего

Для про­из­вод­ства из­де­лия ко­ли­че­ство из­го­тов­лен­ных де­та­лей B долж­но быть ровно в три раза боль­ше ко­ли­че­ства из­го­тов­лен­ных де­та­лей A:

Пусть n  — ко­ли­че­ство из­де­лий, ко­то­рые соберёт завод за смену, оно равно ко­ли­че­ству де­та­лей A. Учи­ты­вая ра­вен­ство (⁎), имеем:

Найдём наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции где Для этого ис­сле­ду­ем функ­цию с по­мо­щью про­из­вод­ной:

При­рав­ня­ем про­из­вод­ную к нулю и найдём кри­ти­че­ские точки:

За­ме­тим, что при ра­вен­ство (⁎) вы­пол­ня­ет­ся, если

Таким об­ра­зом, наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции равно Зна­чит, завод смо­жет со­би­рать 400 из­де­лий за смену.

Ответ: 400.

При­ме­ча­ние.

Про­чти­те ре­ше­ние за­да­ния 513302 и при­ме­ча­ния к нему.