а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Две бо­ко­вые грани пи­ра­ми­ды, в ос­но­ва­нии ко­то­рой лежит ромб, пер­пен­ди­ку­ляр­ны к плос­ко­сти ос­но­ва­ния.

а)  До­ка­жи­те, что две дру­гие бо­ко­вые грани об­ра­зу­ют рав­ные дву­гран­ные углы с плос­ко­стью ос­но­ва­ния.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды, если бо­ко­вые грани, пер­пен­ди­ку­ляр­ные к плос­ко­сти ос­но­ва­ния, об­ра­зу­ют дву­гран­ный угол 120°, а бо­ко­вая грань, со­став­ля­ю­щая с плос­ко­стью ос­но­ва­ния угол в 30°, имеет пло­щадь 36 см².

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В вы­пук­лом че­ты­рех­уголь­ни­ке KLMN точки P и Q  — се­ре­ди­ны сто­рон NK и LM со­от­вет­ствен­но. Диа­го­наль КМ делит точ­кой пе­ре­се­че­ния от­ре­зок PQ по­по­лам.

а)   До­ка­жи­те, что пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка KLMN в 4 раза боль­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка PMN.

б)   Най­ди­те синус угла между диа­го­на­ля­ми че­ты­рех­уголь­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го слу­жат се­ре­ди­ны сто­рон че­ты­рех­уголь­ни­ка KLMN, если пло­щадь PMN равна KM  =  12, NL  =  8.

В каж­дом из двух ком­би­на­тов ра­бо­та­ет по 1000 че­ло­век. На пер­вом ком­би­на­те один ра­бо­чий из­го­тав­ли­ва­ет за смену три де­та­ли А или одну де­таль В. На вто­ром ком­би­на­те для из­го­тов­ле­ния 10t де­та­лей (как А, так и В) тре­бу­ет­ся t² че­ло­ве­ко‐смен. Оба ком­би­на­та по­став­ля­ют де­та­ли на завод, где из де­та­лей со­би­ра­ют из­де­лие, для из­го­тов­ле­ния ко­то­ро­го нужны одна де­таль А и три де­та­ли В. При этом ком­би­на­ты до­го­ва­ри­ва­ют­ся между собой из­го­тав­ли­вать де­та­ли так, чтобы можно было со­брать наи­боль­шее число из­де­лий. Сколь­ко из­де­лий при таких усло­ви­ях может со­брать завод за смену?

Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно два раз­лич­ных ре­ше­ния.

а)  Су­ще­ству­ет ли такое на­ту­раль­ное число n, что числа n² и (n + 17)² имеют оди­на­ко­вые остат­ки при де­ле­нии на 69?

б)  Су­ще­ству­ет ли такое на­ту­раль­ное число n, что числа n² и (n + 17)² имеют оди­на­ко­вые остат­ки при де­ле­нии на 68?

в)  Пусть k(m)  — ко­ли­че­ство трех­знач­ных на­ту­раль­ных чисел n, таких, что числа n² и (n + m)² имеют оди­на­ко­вые остат­ки при де­ле­нии на 68, при­чем m  — дву­знач­ное на­ту­раль­ное число. Опре­де­ли­те наи­мень­шее зна­че­ние k, от­лич­ное от нуля.