Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 513685

Решите неравенство  логарифм по основанию x левая круглая скобка корень из x в квадрате плюс 2x минус 3 плюс 2 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 5 левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x минус 2 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию x 4.

Спрятать решение

Решение.

Область определения неравенства задается условиями x в квадрате плюс 2x минус 3 \geqslant0,x больше 0,x не равно 1, откуда получаем x больше 1. На этом множестве  логарифм по основанию x 4 больше 0 и данное неравенство равносильно неравенству

 дробь: числитель: логарифм по основанию x левая круглая скобка корень из x в квадрате плюс 2x минус 3 плюс 2 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию x 4 конец дроби умножить на логарифм по основанию 5 левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x минус 2 правая круглая скобка \geqslant1,

которое, в свою очередь, равносильно неравенству

 логарифм по основанию 4 левая круглая скобка корень из x в квадрате плюс 2x минус 3 плюс 2 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 5 левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x минус 2 правая круглая скобка \geqslant1.

Положив t= корень из x в квадрате плюс 2x минус 3, где t \geqslant0 получаем неравенство  логарифм по основанию 4 левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 5 левая круглая скобка t в квадрате плюс 1 правая круглая скобка \geqslant1. Заметим, что при t больше или равно 0 функция f левая круглая скобка t правая круглая скобка = логарифм по основанию 4 левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 5 левая круглая скобка t в квадрате плюс 1 правая круглая скобка возрастает (произведение двух положительных возрастающих функций) и f левая круглая скобка 2 правая круглая скобка =1. Таким образом, множество решений этого неравенства является луч t больше или равно 2.

Далее имеем:

 система выражений корень из x в квадрате плюс 2x минус 3\geqslant2,x больше 1 конец системы . равносильно система выражений x в квадрате плюс 2x минус 7 больше или равно 0,x больше 1 конец системы . равносильно x больше или равно 2 корень из 2 минус 1.

 

Ответ:  левая квадратная скобка 2 корень из 2 минус 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек,

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2

Аналоги к заданию № 513685: 513715 Все

Источник: Пробный экзамен по профильной математике Санкт-Петербург 05.04.2016. Вариант 1.
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов