Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 513715

Решите неравенство \log _x левая круглая скобка корень из x в квадрате плюс x минус 2 плюс 1 правая круглая скобка умножить на \log _7 левая круглая скобка x в квадрате плюс x плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно \log _x3.

Спрятать решение

Решение.

Область определения неравенства задается условиями x в квадрате плюс x минус 2 больше или равно 0,x больше 0,x не равно 1, откуда получаем x больше 1. На этом множестве  логарифм по основанию x 3 больше 0 и данное неравенство равносильно неравенству

 дробь: числитель: логарифм по основанию x левая круглая скобка корень из x в квадрате плюс x минус 2 плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию x 3 конец дроби умножить на логарифм по основанию 7 левая круглая скобка x в квадрате плюс x плюс 1 правая круглая скобка \leqslant1,

которое, в свою очередь, равносильно неравенству

 логарифм по основанию 3 левая круглая скобка корень из x в квадрате плюс x минус 2 плюс 1 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 7 левая круглая скобка x в квадрате плюс x плюс 1 правая круглая скобка \leqslant1.

Положив t= корень из x в квадрате плюс x минус 2, где t \geqslant0 получаем неравенство  логарифм по основанию 3 левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 7 левая круглая скобка t в квадрате плюс 3 правая круглая скобка \leqslant1. Заметим, что при t больше или равно 0 функция f левая круглая скобка t правая круглая скобка = логарифм по основанию 3 левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 7 левая круглая скобка t в квадрате плюс 3 правая круглая скобка возрастает (произведение двух положительных возрастающих функций) и f левая круглая скобка 2 правая круглая скобка =1. Таким образом, множество решений этого неравенства задаётся двойным неравенством 0 меньше или равно t меньше или равно 2.

Далее имеем:

 система выражений корень из x в квадрате плюс x минус 2\leqslant2,x больше 1 конец системы . равносильно система выражений x в квадрате плюс x минус 6 меньше или равно 0,x больше 1 конец системы . равносильно 1 меньше x меньше или равно 2.

 

Ответ:  левая круглая скобка 1; 2 правая квадратная скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек,

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2

Аналоги к заданию № 513685: 513715 Все

Источник: Пробный экзамен по профильной математике Санкт-Петербург 05.04.2016. Вариант 2.
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов
Спрятать решение · Прототип задания · · Видеокурс ЕГЭ 2023 · Курс Д. Д. Гущина ·
Елена Зернова 05.03.2017 12:42

Здравствуйте, это неравенство имеет единственный способ решения? Решали его по методу рационализации, у нас не проявилась нигде конечная двойка.

Александр Иванов

Трудно сказать, где Вы ошиблись.

Но двойка точно является решением