математика
Информатика
Русский язык
Английский язык
Немецкий язык
Французcкий язык
Испанский язык
Физика
Химия
Биология
География
Обществознание
Литература
История
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 513719

После того, как учитель проверил контрольную работу, выяснилось, что первую задачу верно решила меньшая часть класса. На перемене один ученик доказал учителю, что его решение первого задания также является верным. Также известно, что в классе учится не более 30, но не менее 20 человек.

а) Могло ли получиться так, что теперь уже большая часть класса верно решила первую задачу?

б) Могло ли получиться так, что исходно процент решивших первую задачу, выражался нецелым числом, а после перемены ― целым числом?

в) Какое наименьшее натуральное значение может после перемены принять процент учеников класса, верно решивших первую задачу?

Решение.

а) Да. Пусть в классе учится 29 человек, из которых сперва 14 человек решили первую задачу (меньшая часть класса), а затем их стало 15 (большая часть класса).

Замечание: подойдет любой пример с нечетным количеством учеников от 21 до 29 и количествами решивших и не решивших первую задачу, отличающимися на 1.

б) Да. Пусть в классе было 30 учеников, из которых ровно 2 решили первую задачу. Тогда исходно процент учеников, решивших первую задачу был нецелым , а после перемены, когда решивших станет 3, процент решивших будет целым.

Замечание: Есть и другие примеры, например, 11 учеников из 24 поняли доказательство на уроке.

в) Пусть всего в классе n учеников, а количество решивших первую задачу равно k. Очевидно, k не меньше 1, так как один ученик решил задачу верно и доказал это на перемене. Тогда искомый процент равен Чтобы это число было как можно меньшим, требуется минимализировать дробь при условии, что

Докажем, что наименьшее значение дроби равно 4. Результат 4 достигается, если

1) Если то очевидно, что

2) Если то либо k = 1, что не подходит, так как дроби не являются натуральными числами, либо и в этом случае

Таким образом, 4 – наибольшее целое значение искомого процента.

 

Ответ: а) да; б) да; в) 4.

Источник: Проб­ный эк­за­мен по про­филь­ной ма­те­ма­ти­ке Санкт-Петербург 05.04.2016. Ва­ри­ант 2.
Спрятать решение · Прототип задания · ·
Сергей Петров 21.04.2016 12:39

k должно быть не меньше 2, т.к. вначале меньшая часть класса решила задачу (т.е. минимум 1 человек), а потом еще 1 человек доказал правильность решения задачи. В итоге минимум 2 ученика решили задачу верно

Константин Лавров

Почему же? Если изначально никто не решил задачу, то k=1.

Борис Попов 28.03.2018 19:34

В пункте б) указана дробь 20/3. Должно быть 2/30.

Александр Иванов

Нет, именно . Речь идёт о процентах.