а)  Да. Пусть в клас­се учит­ся 29 че­ло­век, из ко­то­рых спер­ва 15 че­ло­век не по­ня­ли до­ка­за­тель­ство (боль­шая часть клас­са), а затем их оста­лось 14 (мень­шая часть).

За­ме­ча­ние: по­дой­дет любой при­мер с не­чет­ным ко­ли­че­ством уче­ни­ков от 21 до 29 и ко­ли­че­ства­ми по­няв­ших и не по­няв­ших, от­ли­ча­ю­щи­ми­ся на 1.

б)  Да. Пусть в клас­се было 24 уче­ни­ка, из ко­то­рых ровно 6 по­ня­ли до­ка­за­тель­ство. Тогда ис­ход­но про­цент по­няв­ших ― 25, а после пе­ре­ме­ны, когда по­няв­ших ста­нет 7, про­цент по­няв­ших будет не­це­лым.

За­ме­ча­ние: Есть и дру­гие при­ме­ры, на­при­мер, 3 уче­ни­ка из 30 по­ня­ли до­ка­за­тель­ство на уроке.

в)  Пусть всего в клас­се n уче­ни­ков, а ко­ли­че­ство так и не по­няв­ших до­ка­за­тель­ство равно k. Оче­вид­но, k не пре­вос­хо­дит (n − 1), ведь один уче­ник понял до­ка­за­тель­ство на пе­ре­ме­не. Тогда ис­ко­мый про­цент равен Чтобы это число было как можно боль­шим, тре­бу­ет­ся мак­си­ми­зи­ро­вать дробь при усло­вии, что

До­ка­жем, что наи­боль­шее зна­че­ние дроби равно 96. Ре­зуль­тат 96 до­сти­га­ет­ся, если Если то оче­вид­но, что

Далее раз­бе­рем слу­чаи

1.  n  =  26. Чтобы вы­пол­ня­лось усло­вие не­об­хо­ди­мо взять k, крат­ное 13, что воз­мож­но толь­ко при k  =  13, а

2.  n  =  27. Чтобы вы­пол­ня­лось усло­вие не­об­хо­ди­мо взять k, крат­ное 27, что воз­мож­но толь­ко при k  =  0.

3.  n  =  28. Чтобы вы­пол­ня­лось усло­вие не­об­хо­ди­мо взять k, крат­ное 7, что воз­мож­но толь­ко при k не боль­шем 21, а

4.  n  =  29. Чтобы вы­пол­ня­лось усло­вие не­об­хо­ди­мо взять k, крат­ное 29, что воз­мож­но толь­ко при k  =  0.

5.  n  =  30. Чтобы вы­пол­ня­лось усло­вие не­об­хо­ди­мо взять k, крат­ное 3, что воз­мож­но толь­ко при k не боль­шем 27, а

Таким об­ра­зом, 96  — наи­боль­шее целое зна­че­ние ис­ко­мо­го про­цен­та.

Ответ: а)  да; б)  да; в)  96.

а)  Да. Пусть в клас­се учит­ся 29 че­ло­век, из ко­то­рых спер­ва 14 че­ло­век ре­ши­ли первую за­да­чу (мень­шая часть клас­са), а затем их стало 15 (боль­шая часть клас­са).

За­ме­ча­ние: по­дой­дет любой при­мер с не­чет­ным ко­ли­че­ством уче­ни­ков от 21 до 29 и ко­ли­че­ства­ми ре­шив­ших и не ре­шив­ших первую за­да­чу, от­ли­ча­ю­щи­ми­ся на 1.

б)  Да. Пусть в клас­се было 30 уче­ни­ков, из ко­то­рых ровно 2 ре­ши­ли первую за­да­чу. Тогда ис­ход­но про­цент уче­ни­ков, ре­шив­ших первую за­да­чу был не­це­лым а после пе­ре­ме­ны, когда ре­шив­ших ста­нет 3, про­цент ре­шив­ших будет целым.

За­ме­ча­ние: Есть и дру­гие при­ме­ры, на­при­мер, 11 уче­ни­ков из 24 по­ня­ли до­ка­за­тель­ство на уроке.

в)  Пусть всего в клас­се n уче­ни­ков, а ко­ли­че­ство ре­шив­ших первую за­да­чу равно k. Оче­вид­но, k не мень­ше 1, так как один уче­ник решил за­да­чу верно и до­ка­зал это на пе­ре­ме­не. Тогда ис­ко­мый про­цент равен Чтобы это число было как можно мень­шим, тре­бу­ет­ся ми­ни­ма­ли­зи­ро­вать дробь при усло­вии, что

До­ка­жем, что наи­мень­шее зна­че­ние дроби равно 4. Ре­зуль­тат 4 до­сти­га­ет­ся, если

1)  Если то оче­вид­но, что

2)  Если то либо k  =  1, что не под­хо­дит, так как дроби не яв­ля­ют­ся на­ту­раль­ны­ми чис­ла­ми, либо и в этом слу­чае

Таким об­ра­зом, 4 – наи­мень­шее целое зна­че­ние ис­ко­мо­го про­цен­та.

Ответ: а) да; б) да; в) 4.