≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 513773

В окружность радиуса R вписан четырехугольник ABCDP — точка пересечения его диагоналей, AB = CD = 5, AD > BC. Высота, опущенная из точки В на сторону AD, равна 3, а площадь треугольника ADP равна 

а) Докажите, что ABCD — равнобедренная трапеция 

б) Найдите стороны ADBC и радиус окружности R.

Решение.

а) Поскольку то равны и дуги AB и CD, а значит и опирающиеся на них углы и Поэтому накрест лежащие углы, образованные сторонами BC и AD с секущей BD, равны. Поэтому ABCD — трапеция. Ее боковые стороны равны по условию.

б) Обозначим Опустим перпендикуляры BE и CF на сторону AD. Тогда аналогично поэтому

Заметим, что треугольники BCP и ADP подобны (по двум углам) с коэффициентом Поэтому тогда

Опустим перпендикуляр PT на AD. Очевидно, прямоугольные треугольники BDE и PDT подобны, поэтому

и

Тогда

 

откуда

Следовательно,

 

 

Ответ:

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 148.