СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости



Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 513925

Верно ли, что для любого набора положительных чисел, каждое из которых не превосходит 11, а сумма которых больше 110, всегда можно выбрать несколько чисел так, чтобы их сумма была не больше 110, но больше: 

а) 99;

б) 101;

в) 100.

Ре­ше­ние.

а) Будем по­сле­до­ва­тель­но скла­ды­вать числа, пока сумма не ста­нет боль­ше 110. Те­перь уда­лим по­след­нее до­бав­лен­ное число. По­сколь­ку оно было не боль­ше 11, сумма оста­лась боль­ше 110 − 11 = 99. Утвер­жде­ние верно.

б) Рас­смот­рим 12 чисел, рав­ных 10,1. Их сумма равна 121,2 > 110. Если взять любые 11 из них, то сумма будет равна 111,1 > 110, а если взять мень­ше, чем 11 чисел, то сумма будет не боль­ше Сле­до­ва­тель­но, не из лю­бо­го на­бо­ра чисел можно вы­брать не­сколь­ко чисел, об­ла­да­ю­щих ука­зан­ны­ми свой­ства­ми.

в) Пусть в на­бо­ре най­дут­ся 10 чисел, боль­ших 10. Тогда их сумма боль­ше 100, но не боль­ше чем 110, и они яв­ля­ют­ся ис­ко­мы­ми.

Если в на­бо­ре 9 или мень­ше чисел, боль­ших 10. Тогда их сумма мень­ше 99, и можно по­сту­пить как в пунк­те a): по­сле­до­ва­тель­но при­бав­лять к ним те, ко­то­рые мень­ше 10, пока сумма не ста­нет боль­ше 110. После чего мы можем вы­ки­нуть из суммы по­след­нее до­бав­лен­ное число. Сумма ока­жет­ся мень­ше 110, но боль­ше 100, по­сколь­ку вы­черк­ну­ли число, мень­шее 10.

Таким об­ра­зом, утвер­жде­ние верно.

 

Ответ: а) да, б) нет, в) да.


Аналоги к заданию № 513925: 513918 Все

Источник: За­да­ния 19 (С7) ЕГЭ 2016, ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке — 2016. До­сроч­ная волна, ре­зерв­ный день, вариант А. Ларина (часть С).
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства