СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 514059

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC точка P — се­ре­ди­на AB, точка K — се­ре­ди­на BC. Через точки P и K па­рал­лель­но SB про­ве­де­на плос­кость Ω.

а) До­ка­жи­те, что се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью Ω яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком. 

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки S до плос­ко­сти Ω, если из­вест­но, что SC = 5, AC = 6.

Ре­ше­ние.

а) Пусть L — се­ре­ди­на SC, M — се­ре­ди­на SA. Тогда (сред­няя линия тре­уголь­ни­ка па­рал­лель­на его сто­ро­не) и, зна­чит, точки P, K, L, M лежат в одной плос­ко­сти. По­сколь­ку также это и есть опи­сан­ная в усло­вии плос­кость А се­че­ние пи­ра­ми­ды — че­ты­рех­уголь­ник PKLM. Он па­рал­ле­ло­грамм, по­сколь­ку Вы­чис­лим его угол.

по­сколь­ку про­ек­ция SB на плос­кость ABC — вы­со­та BH тре­уголь­ни­ка ABC.

б) Про­ве­дем плос­кость SBH, где H — се­ре­ди­на AC. Пусть она пе­ре­се­ка­ет ML и PK в точ­ках T и Q со­от­вет­ствен­но. Эта плос­кость пер­пен­ди­ку­ляр­на ML, по­сколь­ку По­это­му любая пря­мая в этой плос­ко­сти пер­пен­ди­ку­ляр­на ML. Зна­чит, если опу­стить пер­пен­ди­ку­ляр из B на TQ — это и будет ис­ко­мое рас­сто­я­ние. Оче­вид­но также, что T и Q — се­ре­ди­ны SH и BH со­от­вет­ствен­на, по­это­му TQ — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка SHB и

Рас­смот­рим тре­уголь­ник SHB. В нем Если про­ве­сти в нем вы­со­ту из вер­ши­ны S, она упа­дет в ценр тре­уголь­ни­ка ABC, то есть в точку, де­ля­щую BH в от­но­ше­нии от­ку­да длина этой вы­со­ты равна Те­перь можно найти нуж­ное рас­сто­я­ние.

 

Ответ:

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 153.
Классификатор стереометрии: Правильная треугольная пирамида, Расстояние от точки до плоскости, Сечение -- параллелограмм, Сечение, параллельное или перпендикулярное прямой