≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 514061

В равнобокую трапецию вписана окружность. 

а) Докажите, что диаметр окружности равен среднему геометрическому длин оснований трапеции. (Средним  геометрическим двух положительных чисел а и b называется значение выражения 

б) Найдите площадь четырехугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами трапеции, если известно, что длины оснований трапеции 8 и 18.

Решение.

а) Пусть в трапеции ABCD Опустим высоты BE и CF на основание AD. Тогда Поскольку трапеция описанная и равнобедренная, то

Из прямоугольного треугольника ABE имеем Очевидно, что диаметр окружности равен расстоянию между основаниями трапеции, то есть как раз найденной высоте.

б) По пункту а) диаметр окружности равен а радиус, следовательно, равен 6. Боковая сторона трапеции равна 13. Поскольку верхнее основание поделено точкой касания на отрезки длиной 4, а нижнее — на отрезки длиной 9, боковая сторона поделена на отрезки длиной 4 и 9.

Соединим теперь точки касания на боковых сторонах. отрезок, соединяющий их, параллелен основаниям и делит боковую cторону в отношении Тогда его длина равна

Итак, диагонали нужного нам четырехугольника перпендикулярны и имеют длины 12 и поэтому его площадь равна

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 153.