СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 514068

а) Докажите, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен половине разности суммы катетов и гипотенузы.

б) Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если радиусы окружностей, вписанных в  треугольники, на которые он делится высотой, проведённой к гипотенузе, равны 4 и 5. 

Решение.

а) Обозначим катеты треугольника за a, b, а гипотенузу за c. Тогда

б) Пусть в прямоугольном треугольнике ABC проведена высота к гипотенузе BD. Пусть также Как известно, треугольники ABD и BCD подобны с коэффициентом и в таком же отношении находятся их радиусы вписанных окружностей. Значит, Тогда

Заметим также, что треугольники ACB и BDC подобны с коэффициентом

Поэтому радиус вписанной окружности ABC можно найти как

 

Ответ:

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 154.