Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых для лю­бо­го дей­стви­тель­но­го x вы­пол­не­но не­ра­вен­ство

|3 синус x плюс a в квад­ра­те минус 22| плюс |7 синус x плюс a плюс 12| мень­ше или равно 11 синус x плюс |a в квад­ра­те плюс a минус 20| плюс 11.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть t= синус x, тогда не­ра­вен­ство за­пи­шет­ся в виде

|3t плюс a в квад­ра­те минус 22| плюс |7t плюс a плюс 12|\leqslant11t плюс |a в квад­ра­те плюс a минус 20| плюс 11.

По­сколь­ку минус 1 мень­ше или равно синус x мень­ше или равно 1, нам тре­бу­ет­ся найти все зна­че­ния a, при ко­то­рых не­ра­вен­ство вы­пол­не­но при минус 1 мень­ше или равно t мень­ше или равно 1.

Рас­смот­рим функ­ции f левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка =|3t плюс a в квад­ра­те минус 22| плюс |7t плюс a плюс 12| и g левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка =11t плюс |a в квад­ра­те плюс a минус 20| плюс 11. Функ­ция f левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка   — ку­соч­но-⁠ли­ней­ная. Уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент её зве­ньев не пре­вос­хо­дит 10. Функ­ция g левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка   — ли­ней­ная функ­ция с уг­ло­вым ко­эф­фи­ци­ен­том 11. Зна­чит, функ­ция g левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка минус f левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка воз­рас­та­ю­щая. Таким об­ра­зом, если не­ра­вен­ство f левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно g левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка вы­пол­не­но при t= минус 1, то оно вы­пол­не­но при t боль­ше или равно минус 1.

При t= минус 1 не­ра­вен­ство при­ни­ма­ет вид

|a в квад­ра­те минус 25| плюс |a плюс 5|\leqslant|a в квад­ра­те плюс a минус 20| рав­но­силь­но |a плюс 5| умно­жить на левая круг­лая скоб­ка |a минус 4| минус |a минус 5| минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \geqslant0.

Вы­ра­же­ние |a плюс 5| равно нулю при a= минус 5 и боль­ше нуля при дру­гих зна­че­ни­ях a. Вы­ра­же­ние |a минус 4| минус |a минус 5| минус 1 при a\geqslant5 равно  0, при 4 мень­ше a мень­ше 5 при­ни­ма­ет вид 2a минус 10, при a мень­ше или равно 4 равно −2. Таким об­ра­зом, не­ра­вен­ство |a плюс 5| умно­жить на левая круг­лая скоб­ка |a минус 4| минус |a минус 5| минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \geqslant0 вы­пол­не­но при a= минус 5;a\geqslant5.

 

Ответ: левая фи­гур­ная скоб­ка минус 5 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 5; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ.4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­но мно­же­ство зна­че­ний a, от­ли­ча­ю­щих­ся от ис­ко­мо­го толь­ко вклю­че­ни­ем/ис­клю­че­ни­ем точек a= минус 5 и/⁠или a=5.3
C по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен про­ме­жу­ток левая квад­рат­ная скоб­ка 5; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка мно­же­ства зна­че­ний a, воз­мож­но, с ис­клю­че­ни­ем точки a = 5.2
Верно най­де­но хотя бы одно из зна­че­ний a: a= минус 5 или a=5.

ИЛИ

По­лу­че­ние не­ра­вен­ство от­но­си­тель­но пе­ре­мен­ной a, из ко­то­ро­го может быть по­лу­че­но ис­ко­мое мно­же­ство зна­че­ний a.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл4

Аналоги к заданию № 514128: 639180 Все

Источник: За­да­ния 18 (С6) ЕГЭ 2014
Классификатор алгебры: Не­ра­вен­ства с па­ра­мет­ром, Не­ра­вен­ства сме­шан­но­го типа
Методы алгебры: Вве­де­ние за­ме­ны, Ис­поль­зо­ва­ние сим­мет­рий, оце­нок, мо­но­тон­но­сти, Ис­поль­зо­ва­ние сим­мет­рий, оце­нок, мо­но­тон­но­сти
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025