≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 514374

Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекается в точке P, причём BC = CD.

а) Докажите, что

б) Найдите площадь треугольника COD, где O — центр окружности, вписанной в треугольник ABD, если дополнительно известно, что BD — диаметр описанной около четырёхугольника ABCD окружности, AB = 6, а

Решение.

а) Вписанные углы BAC и DAC опираются на равные хорды, поэтому они равны (рис. 1). Вписанные углы ADB и ACB опираются на одну и ту же дугу, поэтому Значит, треугольники ADP и ACB подобны по двум углам. Следовательно,

б) Точки A и C лежат на окружности с диаметром BD, значит, треугольники ABD и BCD прямоугольные (рис. 2). Кроме того, по условию треугольник BCD равнобедренный, поэтому Катет AB прямоугольного треугольника ABD равен половине гипотенузы BD, поэтому

Центр окружности, вписанной в треугольник, — точка пересечения его биссектрис, поэтому точка O лежит на биссектрисе AC угла BAD и на биссектрисе угла ADB. Тогда

Следовательно, треугольник COD равносторонний, причём Следовательно, площадь треугольника COD равна

 

Ответ: б)


Аналоги к заданию № 514374: 519902 Все

Источник: За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2015