ЕГЭ–2025: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 17 № 641929 Добавить в вариант

Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке P, причём BC  =  CD.

а)  Докажите, что $A B : B C = A P: P D.$

б)  Найдите площадь треугольника COD, где O  — центр окружности, вписанной в треугольник ABD, если дополнительно известно, что BD  — диаметр описанной около четырёхугольника ABCD окружности, AB  =  8, a $B C = 8 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$

Спрятать решение

Решение.

a)  Вписанные углы BAC и DAC опираются на равные хорды, поэтому они равны (см. рис. верхний). Вписанные углы ADB и ACB опираются на одну и ту же дугу, поэтому

$\angle A D P=\angle A D B=\angle A C B.$

Значит, треугольники ADP и ACB подобны по первому признаку (по двум углам). Следовательно, $A B: B C=A P: P D$

б)  Точки A и C лежат на окружности с диаметром BD, значит, треугольники ABD и BCD прямоугольные (см рис. нижний). Кроме того, по условию треугольник BCD равнобедренный, поэтому $B D=B C умножить на корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента = 16.$ Катет AB прямоугольного треугольника ABD равен половине гипотенузы BD, поэтому $\angle A D B=30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$ и $\angle A B D = 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Центр окружности, вписанной в треугольник,  — точка пересечения его биссектрис, поэтому точка O лежит на биссектрисе AC угла BAD и на биссектрисе угла ADB. Тогда:

$\angle A C D=\angle A B D=60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ $\angle O D B= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \angle A D B=15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$

следовательно,

$\angle O D C=\angle O D B плюс \angle B D C=15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс 45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Таким образом, треугольник COD равносторонний, причём $C D = B C = 8 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$ Следовательно, площадь треугольника COD равна $32 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Ответ: б) $32 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Аналоги к заданию № 514374: 641929 Все

Методы геометрии: Свойства хорд, Свойства биссектрис

Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь