СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 18 № 514388

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет более двух решений.

Решение.

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

Рассмотрим четыре случая:

1) Если и то получаем уравнение

 

Полученное уравнение задаёт пару прямых и Случаю удовлетворяют отрезки внутри квадрата с вершиной в начале координат.

2) Если и то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт параболу Случаю удовлетворяет только дуга ниже оси Ox.

3) Если и то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт параболу Случаю удовлетворяет только дуга левее оси Oy.

4) Если и то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт прямую Случаю удовлетворяют лучи вне квадрата с вершиной в начале координат.

Точки являются точками пересечения полученных парабол с полученными прямыми и лежат на прямых и/или поэтому искомое множество состоит из прямой l, задаваемой уравнением отрезка AB прямой дуги параболы с концами в точках B и C и дуги параболы с концами в точках A и C (см. рис.)

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую m, параллельную прямую AB или совпадающую с ней.

Заметим, что при a = 0 прямая m касается парабол и в точке C.

При a = 1 прямая m содержит отрезок AB, то есть исходная система имеет бесконечное число решений.

При a = 0 прямая m касается дуг и в точке C, пересекает прямую l в точке C и не пересекает отрезок AB, то есть исходная система имеет одно решение.

При прямая m не пересекает отрезок AB, пересекает прямую l в точке, отличной от точки C, и пересекает каждую из дуг и в одной точке, отличной от точки C, то есть исходная система имеет три решения.

При или прямая m пересекает прямую l в одной точке и не пересекает дуги и и отрезок AB, то есть исходная система имеет одно решение.

Значит, исходная система имеет более двух решений при

 

Ответ:

 

 

Примечание Алексея Лапатина.

Утверждение «при a = 0 прямая m касается парабол» далеко не очевидно и нуждается в обосновании. Я вижу два варианта его обоснования.

1. Найти касательную к одной из кривых в этой точке и показать, что она совпадает с прямой m. В силу симметрии всего рисунка относительно y= x для второй кривой m так же будет касательной.

2. Можно использовать свойство: касательная к параболе с вертикальной осью симметрии пересекает горизонтальный отрезок, соединяющий вершину и точку на вертикальной прямой, проходящей через точку касания, в его середине. Достаточно показать, что прямая y = −x отвечает этому требованию для обеих парабол.


Аналоги к заданию № 514388: 519672 519674 Все

Источник: Задания 18 (С6) ЕГЭ 2015
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Комбинация «кривых», Комбинация «кривых»
Спрятать решение · · Видеокурс · Курс Д. Д. Гущина ·
Алексей Лапатин 11.11.2018 10:02

Здравствуйте!

«Заметим, что при a = 0 прямая m касается парабол» <...> Этот факт далеко не очевидный. Его нужно обосновывать. Я вижу два варианта его обоснования.

1. Найти касательную к одной из кривых в этой точке и показать, что она совпадает с нашей прямой. В силу симметрии всего рисунка относительно y= x для второй кривой это будет так же касательная.

2. Можно использовать свойство касательной к параболе: касательная к параболе с вертикальной осью симметрии будет пересекать горизонтальный отрезок, соединяющий вершину и точку на вертикальной прямой, проходящей через точку касания, в его середине. Достаточно показать, что наша прямая y = −x отвечает этому требованию для обеих парабол.

Служба поддержки

Добавили в текст.