Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 18 № 514388

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

 система выражений |x в степени 2 минус 2x| минус x в степени 2 =|y в степени 2 минус 2y| минус y в степени 2 ,x плюс y=a конец системы .

имеет более двух решений.

Решение.

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

Рассмотрим четыре случая:

1) Если x в степени 2 минус 2x\le0 и y в степени 2 минус 2y\le0, то получаем уравнение

 минус x в степени 2 плюс 2x минус x в степени 2 = минус y в степени 2 плюс 2y минус y в степени 2 равносильно y в степени 2 минус x в степени 2 минус y плюс x=0 равносильно

 

 равносильно (y минус x)(x плюс y минус 1)=0.

Полученное уравнение задаёт пару прямых y=x и x плюс y=1. Случаю удовлетворяют отрезки внутри квадрата 2\times 2 с вершиной в начале координат.

2) Если x в степени 2 минус 2x\le0 и y в степени 2 минус 2y больше 0, то получаем уравнение

 минус x в степени 2 плюс 2x минус x в степени 2 =y в степени 2 минус 2y минус y в степени 2 равносильно y=x в степени 2 минус x.

Полученное уравнение задаёт параболу y=x в степени 2 минус x. Случаю удовлетворяет только дуга ниже оси Ox.

3) Если x в степени 2 минус 2x больше 0 и y в степени 2 минус 2y\le0, то получаем уравнение

x в степени 2 минус 2x минус x в степени 2 = минус y в степени 2 плюс 2y минус y в степени 2 равносильно x=y в степени 2 минус y.

Полученное уравнение задаёт параболу x=y в степени 2 минус y. Случаю удовлетворяет только дуга левее оси Oy.

4) Если x в степени 2 минус 2x больше 0 и y в степени 2 минус 2y больше 0, то получаем уравнение

x в степени 2 минус 2x минус x в степени 2 =y в степени 2 минус 2y минус y в степени 2 равносильно y=x.

Полученное уравнение задаёт прямую y=x. Случаю удовлетворяют лучи вне квадрата 2\times 2 с вершиной в начале координат.

Точки A(0;1), B(1;0), C(0;0) являются точками пересечения полученных парабол с полученными прямыми и лежат на прямых x=0 и/или y=0, поэтому искомое множество состоит из прямой l, задаваемой уравнением y=x, отрезка AB прямой x плюс y=1, дуги \omega_1 параболы y=x в степени 2 минус x с концами в точках B и C и дуги \omega_2 параболы x=y в степени 2 минус y с концами в точках A и C (см. рис.)

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую m, параллельную прямую AB или совпадающую с ней.

Заметим, что при a = 0 прямая m касается парабол x=y в степени 2 минус y и y=x в степени 2 минус x в точке C.

При a = 1 прямая m содержит отрезок AB, то есть исходная система имеет бесконечное число решений.

При a = 0 прямая m касается дуг \omega_1 и \omega_2 в точке C, пересекает прямую l в точке C и не пересекает отрезок AB, то есть исходная система имеет одно решение.

При 0 меньше a меньше 1 прямая m не пересекает отрезок AB, пересекает прямую l в точке, отличной от точки C, и пересекает каждую из дуг \omega_1 и \omega_2 в одной точке, отличной от точки C, то есть исходная система имеет три решения.

При a меньше 0 или a больше 1 прямая m пересекает прямую l в одной точке и не пересекает дуги \omega_1 и \omega_2 и отрезок AB, то есть исходная система имеет одно решение.

Значит, исходная система имеет более двух решений при 0 меньше a\le1.

 

Ответ: 0 меньше a\le1.

 

 

Примечание Алексея Лапатина.

Утверждение «при a = 0 прямая m касается парабол» далеко не очевидно и нуждается в обосновании. Я вижу два варианта его обоснования.

1. Найти касательную к одной из кривых в этой точке и показать, что она совпадает с прямой m. В силу симметрии всего рисунка относительно y= x для второй кривой m так же будет касательной.

2. Можно использовать свойство: касательная к параболе с вертикальной осью симметрии пересекает горизонтальный отрезок, соединяющий вершину и точку на вертикальной прямой, проходящей через точку касания, в его середине. Достаточно показать, что прямая y = −x отвечает этому требованию для обеих парабол.


Аналоги к заданию № 514388: 519672 519674 Все

Источник: Задания 18 (С6) ЕГЭ 2015
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Комбинация «кривых»
Спрятать решение · · Курс 80 баллов · Курс Д. Д. Гущина ·
Алексей Лапатин 11.11.2018 10:02

Здравствуйте!

«Заметим, что при a = 0 прямая m касается парабол» <...> Этот факт далеко не очевидный. Его нужно обосновывать. Я вижу два варианта его обоснования.

1. Найти касательную к одной из кривых в этой точке и показать, что она совпадает с нашей прямой. В силу симметрии всего рисунка относительно y= x для второй кривой это будет так же касательная.

2. Можно использовать свойство касательной к параболе: касательная к параболе с вертикальной осью симметрии будет пересекать горизонтальный отрезок, соединяющий вершину и точку на вертикальной прямой, проходящей через точку касания, в его середине. Достаточно показать, что наша прямая y = −x отвечает этому требованию для обеих парабол.

Служба поддержки

Добавили в текст.