Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет более двух решений.
Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.
Рассмотрим четыре случая:
1. Если 
и 
то получаем уравнение
Полученное уравнение задаёт пару прямых 
и 
Случаю удовлетворяют отрезки внутри квадрата 
с вершиной в начале координат.
2. Если и 
то получаем уравнение
Полученное уравнение задаёт параболу 
Случаю удовлетворяет только дуга ниже оси Ox.
3. Если 
и то получаем уравнение
Полученное уравнение задаёт параболу 
Случаю удовлетворяет только дуга левее оси Oy.
4. Если 
и то получаем уравнение
Полученное уравнение задаёт прямую 
Случаю удовлетворяют лучи вне квадрата с вершиной в начале координат.
Точки 
являются точками пересечения полученных парабол с полученными прямыми и лежат на прямых 
и/или 
поэтому искомое множество состоит из прямой l, задаваемой уравнением 
отрезка AB прямой 
дуги 
параболы 
с концами в точках B и C и дуги 
параболы 
с концами в точках A и C (см. рис.)
Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую m, параллельную прямую AB или совпадающую с ней.
Заметим, что при a = 0 прямая m касается парабол и в точке C.
При a = 1 прямая m содержит отрезок AB, то есть исходная система имеет бесконечное число решений.
При a = 0 прямая m касается дуг и в точке C, пересекает прямую l в точке C и не пересекает отрезок AB, то есть исходная система имеет одно решение.
При 
прямая m не пересекает отрезок AB, пересекает прямую l в точке, отличной от точки C, и пересекает каждую из дуг и в одной точке, отличной от точки C, то есть исходная система имеет три решения.
При 
или 
прямая m пересекает прямую l в одной точке и не пересекает дуги и и отрезок AB, то есть исходная система имеет одно решение.
Значит, исходная система имеет более двух решений при 
Ответ:
Примечание Алексея Лапатина.
Утверждение «при a = 0 прямая m, касается парабол», используемое авторами в официальных критериях, далеко не очевидно и нуждается в обосновании. Я вижу два варианта его обоснования.
1. Найти касательную к одной из кривых в этой точке и показать, что она совпадает с прямой m. В силу симметрии всего рисунка относительно y = x для второй кривой m также будет касательной.
2. Можно использовать свойство: касательная к параболе с вертикальной осью симметрии пересекает горизонтальный отрезок, соединяющий вершину и точку на вертикальной прямой, проходящей через точку касания, в его середине. Достаточно показать, что прямая y = −x отвечает этому требованию для обеих парабол.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a отличающееся от искомого только исключением точки a = 1 | 3 |
| При всех значениях a верно найдено количество решений системы в одном из четырёх случаев, возникающих при раскрытии модулей | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения дуг парабол и прямых (аналитически и графически) ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения | 0 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найти все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет больше двух решений.
Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы. Рассмотрим четыре случая.
1. Если 
и 
то получаем уравнение
Полученное уравнение задаёт прямую Случаю удовлетворяют отрезок, расположенный внутри квадрата 
лежащего в третьей координатной четверти и имеющий вершину в начале координат.
2. Если и 
то получаем уравнение
Полученное уравнение задаёт параболу 
Случаю удовлетворяет только дуга, лежащая выше оси Ox и расположенная между прямыми и 
3. Если 
и получаем уравнение
Полученное уравнение задаёт параболу 
Случаю удовлетворяет только дуга, лежащая правее оси Oy и заключенная между прямыми 
и 
4. Если 
и получаем уравнение
Полученное уравнение задаёт пару прямых и 
Случаю удовлетворяют лучи этих прямых, расположенные вне полос 
и 
Второе уравнение системы задаёт прямую m с коэффициентом угла наклона, равным –1. Определим количество точек пересечения этой прямой а графиком Г первого уравнения системы.
При a = −1 прямая m совпадает с частью Г, а потому исходная система имеет бесконечное число решений.
При a = 0 прямая m касается части графика Г, то есть исходная система имеет одно решение.
При 
прямая m пересекает график Г в трех точках точках, а значит, исходная система имеет три решения.
При 
или при 
прямая m пересекает график Г в одной точке.
Таким образом, исходная система имеет более двух решений при 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет более двух решений.
Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.
Рассмотрим четыре случая:
1) Если 
и 
то получаем уравнение
Полученное уравнение задаёт пару прямых и 
Случаю удовлетворяют отрезки внутри квадрата с центром в начале координат.
2) Если и 
то получаем уравнение
Полученное уравнение задаёт параболу 
Случаю удовлетворяет только дуга выше прямой 
3) Если 
и то получаем уравнение
Полученное уравнение задаёт параболу 
Случаю удовлетворяет только дуга правее прямой 
4) Если 
и то получаем уравнение
Полученное уравнение задаёт прямую Случаю удовлетворяют лучи вне квадрата с центром в начале координат.
Точки 
являются точками пересечения полученных парабол с полученными прямыми и лежат на прямых 
и/или 
поэтому искомое множество состоит из прямой l, задаваемой уравнением отрезка AB прямой дуги параболы 
с концами в точках B и C и дуги параболы 
с концами в точках A и C (см. рис.).
Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую m, параллельную прямой AB или совпадающую с ней.
Заметим, что при a = 0 прямая m пересекает прямую l в одной точке и не пересекает дуги и и отрезок AB, то есть исходная система имеет одно решение..
При a = 1 прямая m содержит отрезок AB, то есть исходная система имеет бесконечное число решений.
При 1 < a < 2 прямая m не пересекает отрезок AB, пересекает прямую l в точке, отличной от точки C, и пересекает каждую из дуг и в одной точке, отличной от точки C, то есть исходная система имеет три решения.
При a = 2 прямая проходит через точку C пересекает в ней прямую l и касается дуг и 
то есть система имеет одно решение. Факт касания должен быть пояснен. Точки пересечения прямой и параболы могут быть описаны уравнением
которое имеет единственное решение x = 1, соответствующее точке C и, следовательно, в этой точке имеет место касание прямой и дуги параболы 
Для дуги параболы аналогично.
При a < 1 или a > 2 прямая m пересекает прямую l в одной точке и не пересекает дуги и и отрезок AB, то есть исходная система имеет одно решение.
Значит, исходная система имеет более двух решений при 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a отличающееся от искомого только исключением точки a = 1 | 3 |
| При всех значениях a верно найдено количество решений системы в одном из четырёх случаев, возникающих при раскрытии модулей | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения дуг парабол и прямых (аналитически и графически) ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения | 0 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет более двух решений.
Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.
Рассмотрим четыре случая:
1) Если и то получаем уравнение
Полученное уравнение задаёт прямую Случаю удовлетворяют отрезок внутри квадрата 
который лежит в первой координатной четверти, с вершиной в начале координат.
2) Если и 
то получаем уравнение
Полученное уравнение задаёт параболу Случаю удовлетворяет только дуга ниже оси Ox между прямыми и 
3) Если 
и то получаем уравнение
Полученное уравнение задаёт параболу Случаю удовлетворяет только дуга левее оси Oy между прямыми и 
4) Если 
и то получаем уравнение
Полученное уравнение задаёт пару прямых и Случаю удовлетворяют лучи вне квадрата 
который лежит в первой координатной четверти, с вершиной в начале координат.
Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую m с коэффициентом наклона -1.
При a = 1 прямая m совпадает с частью графика из первой строчки, то есть исходная система имеет бесконечное число решений.
При a = 0 прямая m касается части графика из первой строчки, то есть исходная система имеет одно решение.
При прямая m пересекает график в трех точках точках, то есть исходная система имеет три решения.
При или при прямая m пересекает график в одной точке.
Значит, исходная система имеет более двух решений при
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a отличающееся от искомого только исключением точки a = 1 | 3 |
| При всех значениях a верно найдено количество решений системы в одном из четырёх случаев, возникающих при раскрытии модулей | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения дуг парабол и прямых (аналитически и графически) ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения | 0 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Наверх