СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 514447

В правильной треугольной призме АВСА′B′C′ сторона основания АВ равна 6, а боковое ребро АА′ равно 3. На ребре АВ отмечена точка К так, что АК = 1. Точки М и L — середины рёбер А′С′ и В′С′ соответственно. Плоскость γ параллельна прямой АС и содержит точки К и L.

а) Докажите, что прямая ВМ перпендикулярна плоскости γ;

б) Найдите расстояние от точки С до плоскости γ.

Решение.

Построим сечение призмы плоскостью γ. а) Проведём КР || АС, , CP = 1. Проведём PL, проведём LR || AC, Проведём RK. Трапеция LPLR — искомое сечение. Сечение параллельно АС по признаку параллельности прямой к плоскости.

Введём систему координат, как показано на рисунке. В этой системе координат: В(0; 0; 0), С(0; 6; 0), В'(0; 0; 3), C'(0; 6; 3), P(0; 5; 0),

Тогда

Откуда получаем:

Так как и получаем, что Что и требовалось доказать.

 

б) Далее заметим, что плоскость сечения перпендикулярна вектору , найдем уравнение плоскости и вычислим расстояние от точки до плоскости:

Найдём свободный член D в уравнении плоскости подставив координаты точки К:

поэтому

Упростив уравнение плоскости, получим:

Тогда для искомого расстояния получаем:

 

Приведем другое решение.

а) Четырёхугольник RLPK — искомое сечение. Проведём плоскость B'MTB. Имеем:

Рассмотрим прямоугольник BB'MT. Заметим, что LR — средняя линия треугольника A'B'C', тогда F' — середина B'M, тогда

BKF ~ ΔBAT):

Пусть теперь Тогда

 

На продолжении TB за точку B отметим точку F'', такую, что . Тогда и

Далее,

По обратной теореме Пифагора, треугольник FF'F'' прямоугольный следовательно, Это и требовалось доказать.

 

б) Заметим, что так как то Пусть основанием перпендикуляра опущенного из T на γ будет являться точка S. Тогда TS || BM || F''F. Таким образом, треугольники FTS и FF''F' будут подобны. Следовательно, откуда

 

Ответ: б)

 

Еще один подход к решению задачи, не использующий метод координат, укажем на примере задачи 514653.


Аналоги к заданию № 514447: 514541 Все

Источник: За­да­ния 14 (С2) ЕГЭ 2016, ЕГЭ — 2016 по математике. Ос­нов­ная волна 06.06.2016. Вариант 410. Запад
Методы геометрии: Использование векторов, Метод координат
Классификатор стереометрии: Перпендикулярность прямой и плоскости, Правильная треугольная призма, Расстояние от точки до плоскости, Сечение -- трапеция, Сечение, параллельное или перпендикулярное прямой