Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 514452

На доске написаны числа 2 и 3. За один ход из них можно получить числа a + b и 2a − 1 или числа a + b и 2b − 1 (например, из чисел 2 и 3 можно получить числа 5 и 3 или 5 и 5).

а) Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из чисел, написанных на доске, окажется числом 19.

б) Может ли после 100 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, оказаться числом 200?

в) Сделали 1007 ходов, причем на доске никогда не было равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел?

Спрятать решение

Решение.

а) Например, (2; 3), (5; 5), (10; 9), (19; 19) или (2; 3), (5; 5), (10; 9), (19; 17).

б) Заметим, что минимальное возможное число после первого хода — 3, при дальнейших ходах минимальное возможное увеличение числа за один ход не меньше 2. Таким образом, минимальное возможное число после 100 ходов не меньше 3 плюс 2 умножить на 99=201, что больше 200.

в) Исходные числа 2 и 3 отличаются на 1 — имеют вид a и a плюс 1. Из них можно получить равные числа 2a плюс 1 и 2a плюс 1, что не разрешается, или числа, отличающиеся на 2: 2a минус 1 и 2a плюс 1. Кроме того, если получать равные числа запрещено, то после нечетного хода всегда будет получаться пара нечетных чисел, а после четного хода — четное и нечетное. Ход 1007 — нечетный, значит, после него получилось два нечетных числа. Минимальная возможная разность двух различных нечетных чисел рана 2. Покажем, что такую разницу получить возможно:

(2; 3), (3; 5), (8; 9), (15; 17), (32; 33), ... или  левая круглая скобка a; a плюс 1 правая круглая скобка ,  левая круглая скобка 2a минус 1; 2a плюс 1 правая круглая скобка ,  левая круглая скобка 4a; 4a плюс 1 правая круглая скобка ,  левая круглая скобка 8a минус 1; 8a плюс 1 правая круглая скобка , ...,

 

Тем самым, наименьшая разность, которую можно получить за 1007 ходов, равна 2.

 

Ответ: а) (2; 3), (5; 5), (10; 9), (19; 19); б) нет; в) 2.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение в п. а;

— пример в п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 514452: 514532 514742 Все

Источник: ЕГЭ — 2016 по математике. Основная волна 06.06.2016. Вариант 410. Запад, ЕГЭ — 2016 по математике. Основная волна 06.06.2016 Вариант 412. Запад (C часть)
Классификатор алгебры: Числа и их свойства