Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 514507

Решите неравенство  левая круглая скобка 4x минус 7 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате минус 4x плюс 5 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x минус 5 правая круглая скобка \geqslant0.

Спрятать решение

Решение.

Для рационализации неравенства заметим, что на ОДЗ логарифма выражения  логарифм по основанию a b и  левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка b минус 1 правая круглая скобка имеют одинаковые знаки. Поэтому при условиях

 система выражений 3x минус 5 больше 0, x в квадрате минус 4x плюс 5 больше 0, x в квадрате минус 4x плюс 5 не равно 1 конец системы . равносильно система выражений x больше дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби ,x не равно 2 конец системы .

исходное неравенство равносильно следующему:

 левая круглая скобка 4x минус 7 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 4x плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x минус 6 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно 3 левая круглая скобка 4x минус 7 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в кубе больше или равно 0 равносильно совокупность выражений x больше или равно 2,x меньше или равно дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби . конец совокупности .

Учитывая ОДЗ, получаем:  дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби меньше x меньше или равно дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби , x больше 2.

 

Ответ:  левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .

 

 

Приведем другое решение.

Заметим, что x в квадрате минус 4x плюс 5= левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс 1\geqslant1 при любых значениях x. Значит, выражение  логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате минус 4x плюс 5 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x минус 5 правая круглая скобка положительно при x больше 2, отрицательно при  дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби меньше x меньше 2 и не определено при x меньше или равно дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби и x=2.

При x больше 2 выражение 4x минус 7 положительно, а при  дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби меньше x меньше 2 исходное неравенство равносильно неравенству 4x минус 7\leqslant0, откуда x меньше или равно дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби . Таким образом, решение исходного неравенства: x принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .

 

Ответ:  левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек,

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2

Аналоги к заданию № 514507: 514514 Все

Источник: ЕГЭ — 2016. Досрочная волна. Вариант 201. Юг
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.4 Логарифмические неравенства
Спрятать решение · · Видеокурс ЕГЭ 2023 · Курс Д. Д. Гущина ·
Баграт Мкртчян 07.05.2017 21:19

На основании чего вы решили, что выражение  логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате минус 4x плюс 5 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x минус 5 правая круглая скобка положительно при x больше 2?

Константин Лавров

Исходя из свойств логарифма и предыдущего предложения.