ЕГЭ–2025: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 15 № 514507 Добавить в вариант

Источник: ЕГЭ — 2016. Досрочная волна. Вариант 201. Юг

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Рационализация неравенств

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.4 Логарифмические неравенства

Неравенства. Неравенства с логарифмами по переменному основанию, применение рационализации

Решите неравенство $левая круглая скобка 4x минус 7 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате минус 4x плюс 5 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x минус 5 правая круглая скобка \geqslant0.$

Решение.

Для рационализации неравенства заметим, что на ОДЗ логарифма выражения $логарифм по основанию a b$ и $левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка b минус 1 правая круглая скобка$ имеют одинаковые знаки. Поэтому при условиях

$система выражений 3x минус 5 больше 0, x в квадрате минус 4x плюс 5 больше 0, x в квадрате минус 4x плюс 5 не равно 1 конец системы . равносильно система выражений x больше дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби ,x не равно 2 конец системы .$

исходное неравенство равносильно следующему:

$левая круглая скобка 4x минус 7 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 4x плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x минус 6 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно 3 левая круглая скобка 4x минус 7 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в кубе больше или равно 0 равносильно совокупность выражений x больше или равно 2,x меньше или равно дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби . конец совокупности .$

Учитывая ОДЗ, получаем: $дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби меньше x меньше или равно дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби ,$ $x больше 2.$

Приведем другое решение.

Заметим, что $x в квадрате минус 4x плюс 5= левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс 1\geqslant1$ при любых значениях x. Значит, выражение $логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате минус 4x плюс 5 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x минус 5 правая круглая скобка$ положительно при $x больше 2,$ отрицательно при $дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби меньше x меньше 2$ и не определено при $x меньше или равно дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби$ и $x=2.$

При $x больше 2$ выражение $4x минус 7$ положительно, а при $дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби меньше x меньше 2$ исходное неравенство равносильно неравенству $4x минус 7\leqslant0,$ откуда $x меньше или равно дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби .$ Таким образом, решение исходного неравенства: $x принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Ответ: $левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$ $левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Аналоги к заданию № 514507: 514514 Все

Источник: ЕГЭ — 2016. Досрочная волна. Вариант 201. Юг

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · 1 комментарий · Помощь

Тип 15 № 514514 Добавить в вариант

Источник: ЕГЭ — 2016. Досрочная волна. Вариант 202. Юг

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Рационализация неравенств

Неравенства. Неравенства с логарифмами по переменному основанию, применение рационализации

Решите неравенство $левая круглая скобка 4x плюс 13 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате плюс 6x плюс 10 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс 10 правая круглая скобка \geqslant0.$

Решение.

Заметим, что $x в квадрате плюс 6x плюс 10= левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате плюс 1\geqslant1$ при любых значениях x. Значит, выражение $логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате плюс 6x плюс 10 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс 10 правая круглая скобка$ положительно при $x больше минус 3,$ отрицательно при $минус дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби меньше x меньше минус 3$ и не определено при $x\leqslant минус дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби$ и $x= минус 3.$

При $x больше минус 3$ выражение $4x плюс 13$ положительно, а при $минус дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби меньше x меньше минус 3$ исходное неравенство равносильно неравенству $4x плюс 13\leqslant0,$ откуда $x\leqslant минус дробь: числитель: 13, знаменатель: 4 конец дроби .$ Таким образом, решение исходного неравенства:

$минус дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби меньше x\leqslant минус дробь: числитель: 13, знаменатель: 4 конец дроби ,x больше минус 3.$

Ответ: $левая круглая скобка минус дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби ; минус дробь: числитель: 13, знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка минус 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 514507: 514514 Все

Источник: ЕГЭ — 2016. Досрочная волна. Вариант 202. Юг

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе