Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 514570

Медиана AA1 и BB1 треугольника ABC перпендикулярны и пересекаются в точке O.

а) Докажите, что CO = AB.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что AC = 4, BC = 3.

Решение.

а) Проведем медиану CC_1 (она пройдет через точку O) и продлим ее (до точки K) за точку C_1 на расстояние OC_1= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 OC. Тогда четырехугольник AOBK — параллелограмм (его диагонали делятся пополам точкой пересечения))с прямым углом, поэтому его диагонали равны, то есть AB=OK=CO, что и требовалось.

б) Пусть AO=2y, OA_1=y, BO=2x, OB_1=x. По теореме пифагора имеем 2=AB_1= корень из { 4y в степени 2 плюс x в степени 2 }, откуда 4y в степени 2 плюс x в степени 2 =4.

Аналогично 4x в степени 2 плюс y в степени 2 = дробь, числитель — 9, знаменатель — 4 . Решая эти уравнения, находим x= дробь, числитель — 1, знаменатель — корень из { 3 }, y= дробь, числитель — корень из { 11}, знаменатель — корень из { 12 }.

Тогда S_{ABC}=3S_{ACO}=6S_{AOB_1}=6 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 AO умножить на OB_1=6xy= корень из { 11}.

 

Ответ:  корень из { 11}.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 156.
Методы геометрии: Свойства медиан
Классификатор планиметрии: Треугольники