СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C6 № 514572

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два решения.

Решение.

Отметим точки, координаты которых удовлетворяют системе. Первое уравнение задает прямую, проходящую через точку и параллельную прямой второе — окружность радиуса 1 и окружность радиуса при (при получается точка).

Теперь разберем случаи.

1) Очевидно, прямая пересекает окружность радиуса 1 при а при прямая касается окружности в точке

Поэтому подходят

2) Прямая пересекает окружность в двух точках и еще проходит через точку  — итого три точки.

3) Прямая пересекает окружность радиуса 1 в двух точках, поэтому не должна пересечь окружность радиуса

То есть расстояние от центра окружности до этой прямой (равное ) должно быть больше радиуса окружности

Это невозможно, поэтому такие a не подходят.

4) Тогда окружности совпадают и точек пересечения действительно две.

5) Тогда прямая касается одной окружности, но не касается второй. Это не подходит.

6) Прямая не пересекает окружность радиуса 1, поэтому должна пересечь окружность радиуса в двух точках. То есть расстояние от центра окружности до этой прямой (равное ) должно быть меньше радиуса окружности

Итак, подходят

 

Ответ:

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 156.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Системы с параметром