Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 514584

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA1 и BB1.

а) Докажите, что угол между биссектрисами AA1 и BB1 равен 90 в степени circ минус дробь, числитель — \angle ACB, знаменатель — 2 .

б) Найдите площадь четырёхугольника ABA1B1, если известно, что AC = 4, AB = 5, BC = 6.

Решение.

а) Пусть биссектрисы пересекаются в точке O. Тогда \angle AOB=180 в степени circ минус дробь, числитель — \angle A плюс \angle B, знаменатель — 2 =180 в степени circ минус дробь, числитель — 180 в степени circ минус \angle C, знаменатель — 2 =90 в степени circ плюс дробь, числитель — \angle C, знаменатель — 2 . А смежный с ним как раз равен 90 в степени circ минус дробь, числитель — \angle ACB, знаменатель — 2 , и это угол между прямыми, поскольку он острый.

б) Биссектрисы делят стороны в отношении, равном отношению заключающих сторон. Поэтому

CB_1= дробь, числитель — 6, знаменатель — 11 AC, CA_1= дробь, числитель — 4, знаменатель — 9 BC.

Значит,

S_{ABA_1B_1}=S_{ABC} минус S_{A_1B_1C}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 AC умножить на BC умножить на синус BCA умножить на левая круглая скобка 1 минус дробь, числитель — 4, знаменатель — 9 умножить на дробь, числитель — 6, знаменатель — 11 правая круглая скобка = дробь, числитель — 100, знаменатель — 11 синус BCA.

Из теоремы косинусов получаем 25=16 плюс 36 минус 48 косинус \angle BCA, откуда  косинус \angle BCA= дробь, числитель — 9, знаменатель — 16 ,  синус BCA= дробь, числитель — 5 корень из { 7}, знаменатель — 16 .

Окончательно

S_{ABA_1B_1}= дробь, числитель — 12 умножить на 25, знаменатель — 33 умножить на дробь, числитель — 5 корень из { 7}, знаменатель — 16 = дробь, числитель — 125 корень из { 7}, знаменатель — 44 .

 

Ответ:  дробь, числитель — 125 корень из { 7}, знаменатель — 44 .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 158.
Методы геометрии: Свойства биссектрис, Теорема косинусов
Классификатор планиметрии: Треугольники