Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 11 № 514756

Найдите точку максимума функции y = \ln левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка в квадрате плюс 2x плюс 7.

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что  натуральный логарифм a в квадрате = 2 натуральный логарифм |a|, а значит,

y = 2 \ln|x плюс 4| плюс 2x плюс 7 = система выражений 2 \ln левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка плюс 2x плюс 7, x больше минус 42 \ln левая круглая скобка минус x минус 4 правая круглая скобка плюс 2x плюс 7, x меньше минус 4. конец системы

Тогда

y' = система выражений дробь: числитель: 2, знаменатель: x плюс 4 конец дроби плюс 2, x больше минус 4, дробь: числитель: 2 умножить на левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: минус x минус 4 конец дроби плюс 2, x меньше минус 4 конец системы = дробь: числитель: 2 левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка , знаменатель: x плюс 4 конец дроби . \endalign

 

Производная обращается в нуль в точке −5, которая является точкой максимума.

 

Ответ: −5.

 

Приведём другой способ нахождения производной

y=\ln левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка в квадрате плюс 2x плюс 7.

Воспользуемся правилом нахождения производной сложной функции:

y'= дробь: числитель: 1, знаменатель: левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка в квадрате конец дроби умножить на 2 левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка умножить на 1 плюс 2= дробь: числитель: 2, знаменатель: x плюс 4 конец дроби плюс 2= дробь: числитель: 2 левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка , знаменатель: x плюс 4 конец дроби .

Источник: Демонстрационная версия ЕГЭ—2017 по математике. Профильный уровень., Демонстрационная версия ЕГЭ—2019 по математике. Профильный уровень., Демонстрационная версия ЕГЭ—2018 по математике. Профильный уровень., Демонстрационная версия ЕГЭ—2014 по математике., Демонстрационная версия ЕГЭ—2016 по математике. Профильный уровень.