Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 514758

Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 имеют длину 6. Точки M и N— середины рёбер AA1 и A1C1 соответственно.

а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB1.

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть точка H — середина AC.

Тогда

BN в квадрате =BH в квадрате плюс NH в квадрате = левая круглая скобка 3 корень из 3 правая круглая скобка в квадрате плюс 6 в квадрате =63.

Вместе с тем,

BM в квадрате плюс MN в квадрате = левая круглая скобка 3 в квадрате плюс 6 в квадрате правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 3 в квадрате плюс 3 в квадрате правая круглая скобка = 63,

а тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник BMN является прямоугольным с прямым углом M.

б) Проведём перпендикуляр NP к прямой A1B1.

Тогда NPA1B1 и NPA1A. Следовательно, NPABB1. Поэтому MP — проекция MN на плоскость ABB1.

Прямая BM перпендикулярна MN, тогда по теореме о трёх перпендикулярах BMMP. Следовательно, угол NMP — линейный угол искомого угла.

Длина NP равна половине высоты треугольника A1B1C1, то есть NP= дробь: числитель: 3 корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби .

Поэтому

 синус \ang NMP = дробь: числитель: NP, знаменатель: MN конец дроби = дробь: числитель: 3 корень из 3 , знаменатель: 2 умножить на 3 корень из 2 конец дроби = дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: корень из 8 конец дроби .

Следовательно, \ang NMP = арксинус корень из дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби .

 

Ответ: б)  арксинус корень из дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби .

 

----------

Дублирует задание 510019.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3
Источник: Демонстрационная версия ЕГЭ—2017 по математике. Профильный уровень., Демонстрационная версия ЕГЭ—2019 по математике. Профильный уровень.
Спрятать решение · · Видеокурс ЕГЭ 2023 · Курс Д. Д. Гущина ·
Андрей Ким 03.01.2018 00:20

можно решать координатно-векторным способом?

Александр Иванов

можно