Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 16 № 514760

Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.

а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

Спрятать решение

Решение.

а) Обозначим центры окружностей O1 и O2 соответственно. Пусть общая касательная, проведённая к окружностям в точке K, пересекает AB в точке M. По свойству касательных, проведённых из одной точки, AM = KM и KM = BM. Треугольник AKB, у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, — прямоугольный.

Вписанный угол AKD прямой, поэтому он опирается на диаметр AD. Значит, AD ⊥ AB. Аналогично получаем, что BC ⊥ AB. Следовательно, прямые AD и BC параллельны.

б) Пусть, для определенности, первая окружность имеет радиус 4, а радиус второй равен 1.

Треугольники BKC и AKD подобны,  дробь: числитель: AD, знаменатель: BC конец дроби = дробь: числитель: DK, знаменатель: KB конец дроби =4. Пусть S_BKC=S, тогда S_AKD=16S.

У треугольников AKD и AKB общая высота, следовательно,

 дробь: числитель: S_AKD, знаменатель: S_AKB конец дроби = дробь: числитель: DK, знаменатель: KB конец дроби = дробь: числитель: AD, знаменатель: BC конец дроби ,

то есть SAKB = 4S. Аналогично, SCKD = 4S. Площадь трапеции ABCD равна 25S.

Вычислим площадь трапеции ABCD. Заметим, что O_1H = O_1A – AH = O_1A – O_2B. Проведём к AD перпендикуляр O2H, равный высоте трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника O2HO1:

O_2H= корень из O_1O_2 в квадрате минус O_1H в квадрате =4.

Тогда

S_ABCD= дробь: числитель: AD плюс BC, знаменатель: 2 конец дроби умножить на AB=20.

Следовательно, 25S = 20, откуда S = 0,8 и SAKB = 4S = 3,2.

 

Ответ: б) 3,2.

 

Приведем вариант решения п. б) предложенный Рамилем Багавиевым.

Из первого решения известно, что O_2H=AB=4. Из подобия треугольников AKD и AKB следует  дробь: числитель: AK, знаменатель: BK конец дроби = дробь: числитель: AD, знаменатель: BA конец дроби = 2, таким образом AK = 2BK. Напишем теорему Пифагора для треугольника AKB

AK в квадрате плюс BK в квадрате = AB в квадрате = 16 равносильно 4BK в квадрате плюс BK в квадрате =16 равносильно BK = дробь: числитель: 4, знаменатель: корень из 5 конец дроби \ правая круглая скобка , AK = дробь: числитель: 8, знаменатель: корень из 5 конец дроби .

Теперь несложно вычислить

S_AKB= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AK умножить на BK= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 8, знаменатель: корень из 5 конец дроби умножить на дробь: числитель: 4, знаменатель: корень из 5 конец дроби =3,2.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3
Источник: Демонстрационная версия ЕГЭ—2017 по математике. Профильный уровень., Демонстрационная версия ЕГЭ—2018 по математике. Профильный уровень., Проект демонстрационной версии ЕГЭ—2014 по математике., Демонстрационная версия ЕГЭ—2020 по математике. Профильный уровень., Демонстрационная версия ЕГЭ—2016 по математике. Профильный уровень., Демонстрационная версия ЕГЭ—2015 по математике. Профильный уровень.
Классификатор планиметрии: Окружности и системы окружностей
Спрятать решение · · Видеокурс ЕГЭ 2023 · Курс Д. Д. Гущина ·
Владимир Сукиасян 31.01.2017 21:09

Это не ошибка,но можно было бы с площадью BAK сделать все проще. Она равна половине произведения катетов. Катет BK-высота прямоугольного треугольника ABC она равна произведению катетов разделить на гипотенузу,затем найти AB по радиусам(как у вас предложено), потом по теореме Пифагора найти другой катет. Два катета есть. Осталось найти искомую площадь)