Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 514762

Найдите все положительные значения a , при каждом из которых система

 система выражений левая круглая скобка |x| минус 5 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус 4 правая круглая скобка в квадрате =9, левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате плюс y в квадрате =a в квадрате конец системы .

имеет единственное решение.

Спрятать решение

Решение.

Если x ≥ 0, то уравнение (|x| − 5)2 + (y − 4)2 = 9 задаёт окружность ω1 с центром в точке C1 (5; 4) радиусом 3, а если x < 0, то оно задаёт окружность ω2 с центром в точке C2 (−5; 4) таким же радиусом (см. рис.).

При положительных значениях a уравнение (x + 2)2 + y2 = a2 задаёт окружность ω с центром в точке C (−2; 0) радиусом a. Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения a, при каждом из которых окружность ω имеет единственную общую точку с объединением окружностей ω1 и ω2.

Из точки C проведём луч CC1 и обозначим через A1 и B1 точки его пересечения с окружностью ω1, где A1 лежит между C и C1. Так как

CC_1= корень из левая круглая скобка 5 плюс 2 правая круглая скобка в квадрате плюс 4 в квадрате = корень из 65,

то

CA_1= корень из 65 минус 3,CB_1 = корень из 65 плюс 3.

При a < CA1 или a > CB1 окружности ω и ω1 не пересекаются.

При CA1 < a < CB1 окружности ω и ω1 имеют две общие точки.

При a = CA1 или a = CB1 окружности ω и ω1 касаются.

 

Из точки C проведём луч CC2 и обозначим через A2 и B2 точки его пересечения с окружностью ω2, где A2 лежит между C и C2. Так как

CC_2= корень из левая круглая скобка минус 5 плюс 2 правая круглая скобка в квадрате плюс 4 в квадрате = 5,

то

CA_2 = 5 минус 3 = 2,CB_2 = 5 плюс 3 = 8.

При a < CA2 или a > CB2 окружности ω и ω2 не пересекаются.

При CA2 < a < CB2 окружности ω и ω2 имеют две общие точки.

При a = CA2 или a = CB2 окружности ω и ω2 касаются.

Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность ω касается ровно одной из двух окружностей ω1 и ω2 и не пересекается с другой. Так как CA2 < CA1 < CB2 < CB1, то условию задачи удовлетворяют только числа a=2,a= корень из 65 плюс 3.

 

Ответ: 2; корень из 65 плюс 3.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
С помощью верного рассуждения получены оба верных значения параметра, но

— или в ответ включены также и одно-два неверных значения;

— или решение недостаточно обосновано

3
С помощью верного рассуждения получено хотя бы одно верное значение параметра2
Задача сведена к исследованию:

– или взаимного расположения трёх окружностей;

– или двух квадратных уравнений с параметром

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: Демонстрационная версия ЕГЭ—2017 по математике. Профильный уровень., Демонстрационная версия ЕГЭ—2016 по математике. Профильный уровень., Демонстрационная версия ЕГЭ—2018 по математике. Профильный уровень., Демонстрационная версия ЕГЭ—2020 по математике. Профильный уровень.
Спрятать решение · · Видеокурс ЕГЭ 2023 · Курс Д. Д. Гущина ·
Айрат Назмиев 31.03.2018 13:21

Вы не рассмотрели отрицательные a

Александр Иванов

Прочитайте третье слово в условии