Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 514763

На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −8.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Спрятать решение

Решение.

Пусть среди написанных чисел k положительных, l отрицательных и m нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому 4k − 8l + 0 · m = −3(k + l + m).

 

а) Заметим, что в левой части приведённого выше равенства каждое слагаемое делится на 4, поэтому k + l + m — количество целых чисел — делится на 4. По условию 40 < k + l + m < 48, поэтому k + l + m = 44. Таким образом, написано 44 числа.

 

б) Приведём равенство 4k − 8l = −3(k + l + m) к виду 5l = 7k + 3m. Так как m ≥ 0, получаем, что 5l ≥ 7k, откуда l > k. Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.

 

в) Подставим k + l + m = 44 в правую часть равенства 4k − 8l = −3(k + l + m), откуда k = 2l − 33 . Так как k + l ≤ 44, получаем: 3l − 33 ≤ 44; 3l ≤ 77; l ≤ 25; k = 2l − 33 ≤ 17, то есть положительных чисел не более 17.

 

в) Приведём пример, когда положительных чисел ровно 17. Пусть на доске 17 раз написано число 4, 25 раз написано число −8 и два раза написан 0. Тогда  дробь: числитель: 4 умножить на 17 минус 8 умножить на 25, знаменатель: 44 конец дроби = минус 3; указанный набор удовлетворяет всем условиям задачи.

 

Ответ: а) 44; б) отрицательных; в) 17.

 

----------

Дублирует задание 500820.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение в п. а;

— пример в п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Источник: Демонстрационная версия ЕГЭ—2017 по математике. Профильный уровень.
Классификатор алгебры: Числа и их свойства