Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 514868

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK и BP.  

а) Докажите, что углы АКР и ABP равны.

б) Найдите длину отрезка PK, если известно, что AB = 5, BC = 6, CA = 4.

Решение.

\sqrt{x}а) Заметим, что точки K и P лежат на окружности с диаметром AB (поскольку \angle APB=\angle AKB=90 в степени \circ . Поэтому четырехугольник APKB вписанный и \angle AKP=\angle ABP, поскольку они опираются на одну дугу.

б) Из вписанности получаем \angle ABK=180 в степени \circ минус \angle APK=\angle CPK, поэтому треугольники CPK и CBA подобны по двум углам, так как угол C общий. Вычислим коэффициент подобия.

По теореме косинусов, в треугольнике ABC имеем: 25=36 плюс 16 минус 2 умножить на 4 умножить на 6 косинус \angle C, поэтому  косинус \angle C= дробь, числитель — 9, знаменатель — 16 . Следовательно, CK:AC= дробь, числитель — 9, знаменатель — 16 по определению косинуса из треугольника AKC. Это и есть коэффициент подобия. Окончательно: PK= дробь, числитель — 9, знаменатель — 16 AB= дробь, числитель — 45, знаменатель — 16 .

 

Ответ:  дробь, числитель — 45, знаменатель — 16 .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 161.
Методы геометрии: Теорема косинусов
Классификатор планиметрии: Вписанный угол, опирающийся на диаметр, Подобие, Треугольники