СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 514871

Можно ли n попарно различных натуральных чисел расположить по кругу так, чтобы сумма любых двух соседних чисел являлась точным квадратом, если:

а) n = 3;

б) n = 4;

в) n = 5?

Решение.

Будем подбирать числа так, чтобы их суммы были квадратами четных чисел, не очень отличающихся по величине. В пункте б) еще учтем, что сумма двух из этих квадратов должна быть равна сумме двух других.

а) Решая систему , находим пример: 54, 10, 90.

б) Решая систему (последнее уравнение является следствием остальных, но это неважно), выберем Тогда Получили пример: 63, 193, 3, 1.

в) Решая систему находим

 

Ответ: а) да; б) да; в) да.

 

Комментарий. При ответе «это возможно» мы не обязаны объяснять, как придуман пример. Тем не менее мы постарались объяснить, как такой пример можно придумать. Для решения этой системы проще всего сложить все уравнения, разделить пополам и получить сумму всех чисел. После чего, вычитая из нее какие-либо уравнения, можно найти отдельные неизвестные. Но для этого нужно, чтобы сумма была четной (возьмем все слагаемые четными) и чтобы после деления на 2 она не оказалась слишком маленькой (возьмем все слагаемые примерно одинаковыми). Есть примеры с гораздо меньшими числами. Например, в пункт а годятся 5, 20, 44.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 161.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства