Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 514882

Четырехугольник ABCD со взаимно перпендикулярными диагоналями АС и BD вписан в окружность.  

а) Докажите, что квадрат диаметра окружности равен сумме квадратов противоположных сторон четырехугольника.

б) Найдите площадь четырехугольника ABCD, если известно, что AB= корень из { 5}, BC= корень из { 2}, CD= корень из { 7}.

Решение.

а) Будем считать, что окружность имеет радиус 1 (введем новую единицу длины) и центр в начале координат, а диагонали четырехугольника параллельны координатным осям. Тогда обозначим координаты вершин так — A(a,b), C(a, минус b), B(c,d), D( минус c,d). Имеем:

AB в степени 2 плюс CD в степени 2 =(a минус c) в степени 2 плюс (b минус d) в степени 2 плюс (a плюс c) в степени 2 плюс ( минус b минус d) в степени 2 =

 

=2a в степени 2 плюс 2b в степени 2 плюс 2c в степени 2 плюс 2d в степени 2 =

 

=2(a в степени 2 плюс b в степени 2 ) плюс 2(c в степени 2 плюс d в степени 2 )=2 плюс 2=4=(2R) в степени 2 ,

что и требовалось доказать.

 

б) Из пункта а) следует, что AB в степени 2 плюс CD в степени 2 =AD в степени 2 плюс BC в степени 2 , поэтому AD= корень из { 10} и радиус окружности равен  корень из { 3}. По теореме Птолемея:

BD умножить на AC=AB умножить на CD плюс BC умножить на AD= корень из { 35} плюс корень из { 20}.

По формуле для площади четырехугольника:

S_{ABCD}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 BD умножить на AC умножить на синус \angle(BD, AC)= дробь, числитель — корень из { 35} плюс корень из { 20}, знаменатель — 2 .

Ответ: б)  дробь, числитель — корень из { 35} плюс корень из { 20}, знаменатель — 2 .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 163.
Методы геометрии: Метод координат, Теорема Птолемея
Классификатор планиметрии: Треугольники